Поли-временной надмножество NP-законченного языка с бесконечным числом исключенных из него строк

14

Для любого произвольного NP-полного языка всегда ли найдется надмножество множителей, дополнение которого также бесконечно?

На /cs//q/50123/42961 была запрошена тривиальная версия, в которой суперсет не должен иметь бесконечного дополнения.

Для целей этого вопроса можно предположить, что . Как объяснил Вор, если то ответ «Нет». (Если , то является NP-полным. Очевидно, что не существует надмножества которое является бесконечным и имеет бесконечное число дополнение, так как дополнение имеет только один элемент.) Таким образом, мы можем сосредоточиться на случае P \ ne NP .PNPP=NPP=NPX={xxN+x>1}XXPNP

ARi
источник
5
Если то является NP-полным. Ясно, что не существует надмножества которое является бесконечным и имеет бесконечное дополнение (обратите внимание, что ). Так что вы можете «сосредоточиться» на том, что произойдет, если . P=NPX={xxN+x>1}XX¯={1}PNP
Марцио Де Биаси
3
Как насчет релятивизированной версии: существует ли оракул й, все со-NP множества являются P -иммунными. AAA
Ланс Фортноу
@LanceFortnow ... или для любого полного языка в конкретном. Класс сложности, всегда есть нетривиальный надмножество меньшей сложности.
ARi

Ответы:

10

Каждое -полное множество содержит бесконечное подмножество в P, предполагая, чтоcoNPP

  • существуют псевдослучайные генераторы и
  • существуют безопасные односторонние перестановки.

Другими словами, исходя из допущения , что эти две гипотезы верны, не -полных набор не является P- иммунной . Как указано в комментариях Ланса, это вытекает из теоремы 4.4coNP

(Каве уже показал, что ваш вопрос эквивалентен тому, содержит ли каждое -полное множество бесконечное P- подмножество. На другом языке это говорит о том, что ни один c o N P -полный набор не является " P -иммунным". Это это язык, используемый в упомянутой выше теореме.)coNPPcoNPP

Джошуа Грохов
источник
Благодаря сильным жестким функциямитерации ) односторонние перестановки подразумевают псевдослучайные генераторы.
1
@RickyDemer: см. Определения 4.1-4.3 в цитируемой статье. Если я правильно понимаю, OWP подразумевают то, что они называют «крипто-PRG», но не обязательно то, что они называют «PRG» в газете Glasser-Pavan-Selman-Sengupta. Для их результата им (кажется) нужны как OWP, так и то, что они называют PRG.
Джошуа Грохов
6
Каве только показал, что эквивалентность ко-NP-полным множествам P-иммунна, но заключение теоремы 4.4 в Glasser и др. О том, что все NP-полные наборы должны иметь уменьшение длины, также подразумевает, что со-NP-полных наборов нет. полные P-иммунные наборы.
Ланс Фортноу
@JoshuaGrochow Спасибо ... но есть ли предположения, которые мы можем сделать, которые, в свою очередь, подразумевают отсутствие такого языка. Меня больше интересовали сценарии, в которых не существует надмножества поли-времени
ARi
5

Интересный вопрос. Заявление

для каждого NP-полного существует U в P, такое что L U и U c бесконечно.LULUUc

эквивалентно:

для каждого NP-полного дополнение L содержит бесконечное множество P.LL

что в свою очередь эквивалентно

каждый coNP-полный набор содержит бесконечное P-множество.

который по симметрии такой же, как

каждый NP-полный набор содержит бесконечное P-множество.

Я не думаю, что ответ известен. Я думаю, что натуральные NP-комплекты легко удовлетворяют этому условию. Я не думаю, что у нас есть инструменты для создания искусственного набора, который не соответствует заявлению. (см. комментарий Ланса ниже)

Кава
источник
Ваше первоначальное утверждение тривиально верно. (Пусть U будет полный язык.)
Это интересная цепочка выводов ... Не могли бы вы привести пример естественного NP законченного языка в этом отношении
ARi
3
Симметрия не имеет смысла. Например, каждый набор ce имеет бесконечное вычислимое подмножество, но есть наборы ce, которые этого не делают.
Ланс Фортноу