Число автоморфизмов графа для графа изоморфизма

9

Позволять G а также H быть двумя rрегулярные связные графы размера n, ПозволятьA быть набором перестановок P такой, что PGP1=H, ЕслиG=H тогда A это множество автоморфизмов G,

Каков самый известный верхний предел размера A?
Есть ли какие-либо результаты для конкретных классов графов (не содержащих полных / циклических графов)?


Примечание. Построение группы автоморфизмов, по крайней мере, так же сложно (с точки зрения ее вычислительной сложности), как и решение проблемы изоморфизма графов. На самом деле, простой подсчет автоморфизмов эквивалентен изоморфизму графа за полиномиальное время, см. Р. Матон, «Замечание о проблеме подсчета изоморфизмов графа».

Джим
источник

Ответы:

9

Вормальд показал, что еслиG это связано 3-регулярный граф с 2n вершинами, то число автоморфизмов G водоразделы 3n2n, В частности, это дает нетривиальную экспоненциальную верхнюю оценку для3регулярный случай. Может быть, есть результаты в этой строке для общегоkрегулярные графы.

Для нижней границы рассмотрим формулу F с n входы, чьи ворота являются дополнением modkворота фан-ин 2. Затем, используя выход Торана, можно построитьkрегулярный граф G(F) с O(k2n) вершины, группа автоморфизмов которых кодирует все возможные оценки F, Это означает, что число автоморфизмов G(F) по крайней мере kn, Это показывает, что существует экспоненциальная нижняя оценка числа автоморфизмовkрегулярные графы в зависимости от числа вершин.

Матеус де Оливейра Оливейра
источник
Пожалуйста, рассмотрите следующий график, 1. r1 регулярный график и r2 регулярный граф (ни один из них не является полным или циклическим графом) соединяются друг с другом через число ребер E, скажем, этот объединенный граф является нерегулярным графом G 2. каждая вершина r1 регулярный граф имеет ребра с r2регулярный граф. Нет двух вершинr1 регулярный граф, имеющий одинаковое количество ребер с r2регулярный граф. Может ли автоморфизм группы G быть экспоненциальным?
Джим
1
да. Граф G2 может иметь экспоненциальное число автоморфизмов. Пусть H1 - любой регулярный граф r1 с n вершинами, пронумерованными 1 ... n. Пусть H2 - граф, полученный следующим процессом (разделенным на 3 комментария). Пусть D - граф алмазов, т. Е. 4-цикл вместе с ребром, соединяющим две ранее несмежные вершины. Скажем, что эти две вершины являются внутренними вершинами D. Другие две вершины являются внешними вершинами D. Ясно, что существует автоморфизм, который меняет обе внутренние вершины и оставляет внешние вершины нетронутыми.
Матеус де Оливейра Оливейра
1
Теперь рассмотрим несвязное объединение двух циклов C1 и C2 с n (n + 1) / 2 вершинами, пронумерованными от 1 до n (n + 1) / 2. Также рассмотрим n (n + 1) / 2 копии графа diamod. Теперь для каждого i подключите одну из внешних вершин D_i к i-й вершине C1, а другую внешнюю вершину к i-й вершине C2. Тогда граф H2, полученный этим процессом, является 3-регулярным и имеет экспоненциальное число автоморфизмов, поскольку внутренние вершины каждого D_i можно менять местами отдельно.
Матеус де Оливейра Оливейра
1
Теперь для каждой вершины v_j из H1 мы добавляем 2j ребер из v_j во внутренние вершины алмазов таким образом, что обе внутренние вершины алмаза D_i соединяются с одной и той же вершиной в H1. Это гарантирует, что внутренние вершины алмаза еще можно поменять местами, и поэтому общее число автоморфизмов в графе G2 экспоненциально.
Матеус де Оливейра Оливейра
Нетрудно показать, что связный граф порядка n и максимальной валентности k имеет группу автоморфизмов порядка не более nk(k1)n2, Найдите порядок вершин таким образом, чтобы, начиная со второй, каждая вершина была смежна хотя бы с одной из предшествующих вершин. ПозволятьGi быть подгруппой, фиксирующей первый iВершины. Это нисходящая цепочка подгрупп, с|G:G1|n а также Gn=1, Из теоремы об орбите-стабилизаторе следует, что|G1:G2|k, а также |Gi:Gi+1|k1 за i{2,,n1},
Верет
5

Если вы разрешите разъединение графов, то нет хороших верхних границ в отношении количества вершин.

За r-регулярные графы принимают дизъюнктное объединение l полные графики Kr+1, Тогда граф имеет(r+1)l вершины и (r+1)!l! автоморфизмы.

торы
источник