Рассмотрим граф (задача имеет смысл как для ориентированных, так и для неориентированных графов). Назовите матрицей расстояний : - это кратчайшее расстояние от вершины до вершины в для некоторой фиксированной функции агрегирования (например, или ).
Я сказать , что подграф из (с таким же множеством вершин) является зр-эквивалентно к , если . Другими словами, удаление ребер для перехода от к не меняет длину кратчайших путей; удаленные края не требуются для кратчайшего пути.
В общем случае не существует ни одного sp-эквивалентного подграфа группы , минимального для включения. Например, если является ненаправленным и все ребра имеют вес , любое остовное дерево является минимальным sp-эквивалентным подграфом (действительно, любое ребро в цикле может быть удалено, но отключение пары вершин, очевидно, меняет расстояние). Однако я все еще могу назвать ребра бесполезными, если они не находятся в минимальном sp-эквивалентном подграфе, необходимо, если они есть во всех минимальных sp-эквивалентных подграфах (т. Е. В их пересечении), и необязательным, если они есть в некоторых из них (т.е. в их союзе).
Мой первый вопрос: имеют ли эти понятия стандартное название?
Мой второй вопрос: какова сложность классификации ребер таким способом, в зависимости от того, является ли ненаправленным или направленным, и от функции агрегирования?
(Например, для ненаправленного и для минимальные sp-эквивалентные подграфы являются остовными деревьями с минимальным весом, поэтому, по крайней мере, если все веса ребер различны, классификация легко вычисляется путем вычисления уникального минимального остовного дерева, но в целом Я не знаю, как все работает.)
Ответы:
Если вы ищете способ назвать (или поочередно охарактеризовать) эти ребра, которые вы называете «бесполезными» и «необходимыми», вы можете назвать их ребрами с центральностью между 0 и = 1 соответственно. Каждое ребро может быть классифицировано как имеющее = 0, = 1 или (0,1) меру промежуточности во времени всех пар-кратчайших путей.
Это хорошо изученная мера ребер сети, и существуют быстрые алгоритмы для обновления всех оценок центральности ребер при удалении ребер (но я не уверен насчет других возмущений).
Функция централизованности встроена почти в каждый анализ сети, который я видел, и есть определение, которое также применимо к ориентированным графам:
(редактировать: ссылка, которую я дал изначально, обсуждала только центральность узлов, но вот единственная статья в Википедии, в которой я могу найти информацию о центральности границ: http://en.wikipedia.org/wiki/Girvan%E2%80%93Newman_algorithm Тем не менее, промежуточное звено является стандартной мерой, которую обычно можно найти в пакетах сетевого анализа.)
источник