Проводилось ли какое-либо исследование

25

Хорошо известной характеристикой экземпляров -SAT является отношение числа предложений m к числу переменных n , т. Е. Частное ρ = m / n . Для каждого k существует пороговое значение α st \ для ρ α , большинство случаев выполнимо, а для ρ α большинство случаев неудовлетворительно. Было проведено много исследований для задач, где ρ α , и для задач с достаточно малым ρ , kkmnρ=m/nkαραραραρk-SAT становится разрешимым за полиномиальное время. См., Например, обзорную статью Димитриса Ахлиопта из «Справочника по удовлетворенности» ( PDF ).

Мне интересно, была ли проделана какая-либо работа в другом направлении (где ), например, можем ли мы как-то трансформировать проблему из CNF в DNF в этом случае, чтобы решить ее быстро.ρα

Итак, по существу, Что известно относительно SAT, где ?ρ=m/nα

Мэтт Грофф
источник
10
Стоит отметить, что является функцией от k . αk
Гек Беннетт
может ли быть какое-то преобразование, которое показывает некоторую симметрию между двумя областями по обе стороны от точки перехода? кажется правдоподобным во всяком случае, вопрос довольно широкий в том смысле, что существует много эмпирических / теоретических исследований точки перехода, которая не фокусируется столько на одной "стороне" или другой ...
vzn

Ответы:

26

Да, было. Моше Варди недавно выступил с докладом на семинаре BIRS по теоретическим основам прикладного SAT-решения :

(Моше представляет график их эксперимента немного позже минуты 14:30 в своем выступлении, связанном выше.)

Обозначим через коэффициент клаузулы. По мере того, как значение ρ превышает пороговое значение, проблема становится проще для существующих решателей SAT, но не так легко, как это было до достижения порогового значения. По мере приближения к порогу снизу уровень сложности очень резко возрастает. После порога проблема становится легче по сравнению с порогом, но снижение сложности намного менее круто.ρρ

Обозначим через сложность задачи относительно n (в их эксперименте T ρ ( n ) - это среднее время работы GRASP на случайных 3SAT-экземплярах с отношением предложений ρ ). Моше предполагает, что T ρ ( n ) изменяется следующим образом:Tρ(n)nTρ(n)ρTρ(n)

  • порог: T ρ ( n ) является полиномом от n ,ρTρ(n)n
  • находится вблизи порога: T ρ ( n ) экспоненциально по n ,ρTρ(n)n
  • порог: T ρ ( n ) остается экспоненциальным по n, но показатель степени уменьшается сувеличением ρ .ρTρ(n)nρ
Кава
источник
1
Следует отметить, что приведенные выше результаты являются экспериментальными (примерно с 2000 года) с использованием специального SAT-решателя (GRASP). Но теоретически известно, что при достаточно большом (скажем, Ω ( n ) ) даже разрешение имеет небольшие опровержения неудовлетворенности. И, как писал ранее Ян Йоханнсем, опровергнуть 3-SAT легко (в среднем случае) уже при ρ = Ω ( ρΩ(n). ρ=Ω(n)
Иддо Цамерет
19

k-SAT

  • Для таких формул показаны нижние оценки длины опровержений в разрешении и более сильные пропозициональные системы доказательств, начиная с статьи « Много сложных примеров для разрешения » Хватала и Семереди. Эти нижние границы разрешения означают более низкие границы времени выполнения SAT-решателей на основе DPLL и CDCL. Самые сильные нижние оценки относятся к исчислению полиномов благодаря Бен-Сассону и Импальяццо .
  • Для таких формул существуют эффективные детерминированные алгоритмы для сертификации неудовлетворенности, то есть алгоритмы, которые либо выводят «UNSAT», либо «Don't Know», где ответ «UNSAT» должен быть правильным, и он должен выводить «UNSAT» в неудовлетворительные формулы с высокой вероятностью. Самые сильные результаты в этом направлении связаны с Фейге и Офеком .
Ян Йоханнсен
источник
km/nc1m/nc2n1/2nc1nc2n3/2
2

Вот более старое, но актуальное исследование / ракурс ведущего эксперта.

κ

κκ

m/nα

ВЗН
источник
с другой стороны, предположительно возможно генерировать отдельные «жесткие» экземпляры любого m / n-«измерения», просто они менее статистически вероятны вне фазового перехода «P-NP-P».
vzn