Предположим, у нас есть множество S графов (конечных графов, но их бесконечное число) и группа перестановок P, которая действует на S.
Экземпляр: перестановка p в P.
Вопрос: существует ли граф g в S, который допускает автоморфизм p?
Является ли эта задача NP-полной для некоторых множеств S?
Было бы легко проверить, что граф допускает перестановку p (то есть сертификат). Более того, легко найти примеры S, где проблема не является NP-полной, например, S является множеством полных графов, откуда ответ всегда да.
Примечание: меня не очень интересует тип графиков; если хотите, они могут быть непростыми, направленными, цветными и т. д.
ДОБАВЛЕНИЕ: Проблема, которую я сейчас рассматриваю, заключается в классификации того, какие изотопизмы являются автотопизмами латинских квадратов (что также можно интерпретировать как специальный тип автоморфизма графов).
Учитывая латинский квадрат L (i, j), мы можем построить граф следующим образом:
- Набор вершин представляет собой набор ячеек (i, j) в матрице и
- Существует грань между различными (i, j) и (i ', j') всякий раз, когда i = i 'или j = j' или L (i, j) = L (i ', j').
Такой график называется графиком латинского квадрата (см., Например, эту статью Бэйли и Кэмерон http://designtheory.org/library/encyc/topics/lsee.pdf ). Мы можем интерпретировать автотопизм латинского квадрата как автоморфизм графа латинского квадрата. Итак, пусть S будет множеством графов латинских квадратов, образованных из латинских квадратов порядка n. Итак, вопрос, который меня интересует, таков:
При заданной перестановке p является ли автоморфизм одного (или нескольких) графов в S?
Мне кажется, что на этот вопрос в целом сложно ответить - в настоящее время я пишу статью на 30 с лишним страниц по этому вопросу (с двумя соавторами). На самом деле, в большинстве случаев это легко (в большинстве случаев это «нет»), но есть некоторые сложные случаи.
Поэтому я заинтересован в поиске решения проблем, которые будут связаны с «классификацией симметрии». Они не должны быть связаны с латинскими квадратами, я просто надеюсь использовать эти методы, чтобы ответить на вопрос о латинских квадратах.
источник
Ответы:
Возьмем любой язык (который состоит из двоичных строк). Построим множество S графов следующим образом:L S
Пусть теперь будет перестановка { 1 , 2 , . , , , 3 н } . Предположим , что р есть автоморфизм некоторого графа в S . То есть, р есть автоморфизм G у для некоторого у ∈ L . Пусть I ∈ { 1 , 2 , . , , , n } . Давайте рассмотрим следующие два случая:p {1,2,...,3n} p S p Gy y∈L i∈{1,2,...,n}
Следовательно, если мы можем решить вопрос «является ли данный автоморфизмом некоторого G ∈ S », мы также можем решить вопрос «является ли заданная строка y в L ». Более того, если мы можем сделать первое, скажем, за полиномиальное время в | р | , мы можем сделать последнее за полиномиальное время в | у | также.p G∈S y L |p| |y|
Теперь вы можете просто позволить быть вашей любимой NP-трудной проблемой. Или проблема остановки ...L
источник