Почему гипотеза лог-ранга использует ранг над реалами?

10

В сложности связи гипотеза лог-ранга утверждает, что

cc(M)=(logrk(M))O(1)

Где - сложность связи а - ранг (в виде матрицы) над реалами.M ( x , y ) r k ( M ) Mcc(M)M(x,y)rk(M)M

Однако, когда вы просто используете метод ранга для понижения границы вы можете использовать любого удобного поля. Почему гипотеза о логарифмическом ограничении ограничена реальными значениями? Разрешена ли гипотеза для над полями ненулевой характеристики? Если нет, то это интересно или есть что-то особенное в over ?r k r k r k Rcc(M)rkrkrkR

Артем Казнатчеев
источник
2
Кстати, я считаю, что вы должны ограничить двоичным, иначе вы можете составить тривиальные контрпримеры. M
Сашо Николов
@SashoNikolov Что вы подразумеваете под тривиальными контрпримерами, если не равно (я полагаю, вы имеете в виду реал)? 0 / 1M0/1
T ....
Например, проблема «угадай мое число», т.е. у Алисы есть число в и Боб должен его вывести. Легко видеть, что сложность связи равна но ранг матрицы равен . log N 1{1,,N}logN1
Сашо Николов
@SashoNikolov Можете ли вы определить, угадать мой номер точно? Я не могу визуализировать характерную матрицу. У Алисы есть а у Боба есть , тогда что такое функция из которой определяется ранга ? y f ( x , y ) M 1xyf(x,y)M1
T ....
1
Функция где и - битные векторы. Если определение сложности связи требует, чтобы значение было полностью определено протоколом протокола (это определение в Kushilevitz-Nisan), то ясно, что сложность равна . x y n f nf(x,y)=xxynfn
Сашо Николов

Ответы:

14

Гипотеза не соответствует . Посмотрите на и . Сложность связи равна , но ранг над равен по линейности внутреннего произведения. М(х,у)=х,умод2х,у{0,1 } п Ω(п)М Р 2 пF2M(x,y)=x,ymod2x,y{0,1}nΩ(n)MF2n

Сашо Николов
источник