Об оптимальности алгоритма Гровера с высокой вероятностью успеха

Хорошо известно, что сложность квантового запроса с ограниченной функцией функции равна . Теперь вопрос в том, что если мы хотим, чтобы наш квантовый алгоритм работал успешно для каждого входа с вероятностью а не обычным . Теперь с точки зрения какие будут соответствующие верхние и нижние границы?$OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$$\Theta(\sqrt{n})$$1-\epsilon$$2/3$$\epsilon$

Непосредственно для этой задачи достаточно запросов путем повторения алгоритма Гровера. Но из того, что я помню, это совсем не оптимально, так как даже простой алгоритм Гровера, если он выполняется аккуратно, то есть для соответствующего числа итераций, может достичь чего-то вроде всего за итераций. И, следовательно, используя это можно получить улучшение для всех . С другой стороны, я не ожидаю, что будет правильным ответом для очень маленьких .$O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$$\epsilon=O(1/n)$$O(\sqrt{n})$$\epsilon$$\Omega(\sqrt{n})$$\epsilon$

Но мне интересно посмотреть, что можно показать в терминах зависимых верхних и нижних границ для разных диапазонов особенно когда очень мала, скажем, или для больших .$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$\epsilon= \exp(-\Omega(n))$$\epsilon=1/n^k$$k$

(Чтобы дать некоторый контекст, общее явление, к которому я обращаюсь, - это усиление в контексте сложности квантовых запросов.)

Для полноты вот ответ.

Пусть обозначает сложность квантового запроса -error для вычисления функции а - это функция OR для битов, определяемая как . (Обратите внимание, что это отличается от проблемы, когда вам обещают, что вход имеет ровно 1, и цель состоит в том, чтобы найти это 1. Эта проблема может быть решена без ошибок в запросах .)$Q_\epsilon(f)$$\epsilon$$f$$\mathsf{OR}_n$$n$$\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$$\Theta(\sqrt{n})$

Тогда для всех ,$\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$ .

Это следует из границ для квантовых алгоритмов малой и нулевой ошибок .

На самом деле, мы знаем что-то более общее. Для всех симметричных функций , которые являются функциями, которые зависят только от веса Хэмминга на входе, мы имеем это для всех ,$f$$\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$ .

Это было показано в заметке о квантовых алгоритмах и минимальной степени полиномов с ошибками эпсилона для симметричных функций .