Робастность расщепления хунты

16

Мы говорим, что булева функция f : { 0 , 1 } n{ 0 , 1 }f:{0,1}n{0,1} является юнтой, если имеет не более влияющих переменных.к kф fкk

Пусть - -юнта. Обозначим переменные через . Исправить Ясно, что существует такой, что содержит хотя бы из влияющих переменных .f : { 0 , 1 } n{ 0 , 1 } f:{0,1}n{0,1}2 k 2kf fx 1 , x 2 , , x n x1,x2,,xnS 1 = { x 1 , x 2 , , x n2 },S 2 = { x n2 +1,хн2+2,,xn}.

S1={x1,x2,,xn2},S2={xn2+1,xn2+2,,xn}.
S{S1,S2}S{S1,S2}SSkkff

Теперь пусть и предположим, что равно -far от каждой -junta (т. Е. Нужно изменить долю по крайней мере значений , чтобы сделать его -junta). Можем ли мы сделать «надежную» версию заявления выше? То есть существует ли универсальная константа и множество такое, что находится в -дале от каждой функции, которая содержит не более влияющих переменных в ?ϵ>0ϵ>0f:{0,1}n{0,1}f:{0,1}n{0,1}ϵϵ2k2kϵϵff2k2kccS{S1,S2}S{S1,S2}ffϵcϵckkSS

Примечание: в первоначальной формулировке вопроса было зафиксировано как . Пример Нила показывает, что такого значения недостаточно. Однако, поскольку при тестировании свойств мы обычно не слишком заботимся о константах, я немного смягчил условие.cc22cc


источник
Можете ли вы уточнить свои условия? Является ли переменная "влияющей", если значение f не всегда независимо от переменной? Означает ли «изменить значение ff », изменить одно из значений f ( x )f(x) для некоторого конкретного xx ?
Нил Янг
Конечно, переменная x ixi оказывает влияние, если существует n-n битная строка yy такая, что f ( y ) f ( y )f(y)f(y) , где y y - строка yy с перевернутой ii -й координатой. Изменение значения ff означает изменение его таблицы истинности.

Ответы:

17

Ответ «да». Доказательство от противного.

Для удобства обозначения обозначим первые n / 2n/2 переменные через x,x а вторые n / 2n/2 переменные через yy . Предположим , что п ( х , у )f(x,y) является δδ -близко к функции F 1 ( х , у )f1(x,y) , которое зависит только от Kk координат хx . Обозначим его влиятельные координаты через T 1T1 . Аналогично, предположим , что п ( х , у )f(x,y) являетсяδ-δ близка к функции f 2 ( x , y ),f2(x,y) которая зависит только от kk координат yy . Обозначим его влиятельные координаты через T 2T2 . Мы должны доказатьчто Ff является 4 δ4δ - близко к 2 K2k -junta ~ F ( х , у )f~(x,y) .

Скажем, что ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ),(x1,y1)(x2,y2) если x 1x1 и x 2x2 сходятся по всем координатам в T 1,T1 а y 1y1 и y 2y2 сходятся по всем координатам в T 2T2 . Равномерно выбираем представителя из каждого класса эквивалентности. Пусть ( ˉ x , ˉ y )(x¯,y¯) будет представителем класса ( x ,у ) . Определить ~ п следующим: ~ F ( х , у ) = е ( ˉ х , ˉ у ) .(x,y)f~

f~(x,y)=f(x¯,y¯).

Очевидно , что ~ F является 2 к -junta (это зависит только от переменных T 1T 2 ) . Докажем, что он находится на расстоянии 4 δ от f в ожидании.f~2kT1T2)4δf

Мы хотим доказать , что Pr ~ е ( Pr х , у ( ~ е ( х , у ) F ( х , у ) ) ) = Pr ( F ( ˉ х , ˉ у ) F ( х , у ) ) 4 δ , где x и y выбираются случайным образом равномерно. Рассмотрим случайный вектор

Prf~(Prx,y(f~(x,y)f(x,y)))=Pr(f(x¯,y¯)f(x,y))4δ,
xy~ Х получается изх, сохраняя все биты вT1и случайнымлистать все биты не вT1, и вектор ~ у определяется аналогично. Заметимчто Рг( ~ F (х,у)F(х,у))=Pr(F( ˉ х , ˉ у )F(х,у))=Prx~xT1T1y~( Е ( ~ х , ~ у ) F ( х , у ) ) .
Pr(f~(x,y)f(x,y))=Pr(f(x¯,y¯)f(x,y))=Pr(f(x~,y~)f(x,y)).

Мы имеем, Pr ( ф ( х , у ) п ( ~ х , у ) ) Pr ( F ( х , у ) F 1 ( х , у ) ) + Pr ( F 1 ( х , у ) е 1 ( ~ х , у ) ) + Pr ( F1 ( ~ х , у ) F ( ~ х , у ) ) & le ; & delta ; + 0 + & delta ; = 2 & delta ; .

Pr(f(x,y)f(x~,y))Pr(f(x,y)f1(x,y))+Pr(f1(x,y)f1(x~,y))+Pr(f1(x~,y)f(x~,y))δ+0+δ=2δ.

Similarly, Pr(f(˜x,y)f(˜x,˜y))2δPr(f(x~,y)f(x~,y~))2δ. We have Pr(f(ˉx,ˉy)f(x,y))4δ.

Pr(f(x¯,y¯)f(x,y))4δ.
QED

It easy to “derandomize” this proof. For every (x,y)(x,y), let ˜f(x,y)=1f~(x,y)=1 if f(x,y)=1f(x,y)=1 for most (x,y)(x,y) in the equivalence class of (x,y)(x,y), and ˜f(x,y)=0f~(x,y)=0, otherwise.

Yury
источник
12

The smallest cc that the bound holds for is c=1212.41c=1212.41.

Lemmas 1 and 2 show that the bound holds for this cc. Lemma 3 shows that this bound is tight.

(In comparison, Juri's elegant probabilistic argument gives c=4c=4.)

Let c=121c=121. Lemma 1 gives the upper bound for k=0k=0.

Lemma 1: If ff is ϵgϵg-near a function gg that has no influencing variables in S2S2, and ff is ϵhϵh-near a function hh that has no influencing variables in S1S1, then ff is ϵϵ-near a constant function, where ϵ(ϵg+ϵh)/2cϵ(ϵg+ϵh)/2c.

Proof. Let ϵϵ be the distance from ff to a constant function. Suppose for contradiction that ϵϵ does not satisfy the claimed inequality. Let y=(x1,x2,,xn/2)y=(x1,x2,,xn/2) and z=(xn/2+1,,xn)z=(xn/2+1,,xn) and write ff, gg, and hh as f(y,z)f(y,z), g(y,z)g(y,z) and h(y,z)h(y,z), so g(y,z)g(y,z) is independent of zz and h(y,z)h(y,z) is independent of yy.

(I find it helpful to visualize ff as the edge-labeling of the complete bipartite graph with vertex sets {y}{y} and {z}{z}, where gg gives a vertex-labeling of {y}{y}, and hh gives a vertex-labeling of {z}{z}.)

Let g0g0 be the fraction of pairs (y,z)(y,z) such that g(y,z)=0g(y,z)=0. Let g1=1g0g1=1g0 be the fraction of pairs such that g(y,z)=1g(y,z)=1. Likewise let h0h0 be the fraction of pairs such that h(y,z)=0h(y,z)=0, and let h1h1 be the fraction of pairs such that h(y,z)=1h(y,z)=1.

Without loss of generality, assume that, for any pair such that g(y,z)=h(y,z)g(y,z)=h(y,z), it also holds that f(y,z)=g(y,z)=h(y,z)f(y,z)=g(y,z)=h(y,z). (Otherwise, toggling the value of f(y,z)f(y,z) allows us to decrease both ϵgϵg and ϵhϵh by 1/2n1/2n, while decreasing the ϵϵ by at most 1/2n1/2n, so the resulting function is still a counter-example.) Say any such pair is ``in agreement''.

The distance from ff to gg plus the distance from ff to hh is the fraction of (x,y)(x,y) pairs that are not in agreement. That is, ϵg+ϵh=g0h1+g1h0ϵg+ϵh=g0h1+g1h0.

The distance from ff to the all-zero function is at most 1g0h01g0h0.

The distance from ff to the all-ones function is at most 1g1h11g1h1.

Further, the distance from ff to the nearest constant function is at most 1/21/2.

Thus, the ratio ϵ/(ϵg+ϵh)ϵ/(ϵg+ϵh) is at most min(1/2,1g0h0,1g1h1)g0h1+g1h0,

min(1/2,1g0h0,1g1h1)g0h1+g1h0,
where g0,h0[0,1]g0,h0[0,1] and g1=1g0g1=1g0 and h1=1h0h1=1h0.

By calculation, this ratio is at most 12(21)=c/212(21)=c/2. QED

Lemma 2 extends Lemma 1 to general kk by arguing pointwise, over every possible setting of the 2k2k influencing variables. Recall that c=121c=121.

Lemma 2: Fix any kk. If ff is ϵgϵg-near a function gg that has kk influencing variables in S2S2, and ff is ϵhϵh-near a function hh that has kk influencing variables in S1S1, then ff is ϵϵ-near a function ˆff^ that has at most 2k influencing variables, where ϵ(ϵg+ϵh)/2c.

Proof. Express f as f(a,y,b,z) where (a,y) contains the variables in S1 with a containing those that influence h, while (b,z) contains the variables in S2 with b containing those influencing g. So g(a,y,b,z) is independent of z, and h(a,y,b,z) is independent of y.

For each fixed value of a and b, define Fab(y,z)=f(a,y,b,z), and define Gab and Hab similarly from g and h respectively. Let ϵgab be the distance from Fab to Gab (restricted to (y,z) pairs). Likewise let ϵhab be the distance from Fab to Hab.

By Lemma 1, there exists a constant cab such that the distance (call it ϵab) from Fab to the constant function cab is at most (ϵhab+ϵgab)/(2c). Define ˆf(a,y,b,z)=cab.

Clearly ˆf depends only on a and b (and thus at most k variables).

Let ϵˆf be the average, over the (a,b) pairs, of the ϵab's, so that the distance from f to ˆf is ϵˆf.

Likewise, the distances from f to g and from f to h (that is, ϵg and ϵh) are the averages, over the (a,b) pairs, of, respectively, ϵgab and ϵhab.

Since ϵab(ϵhab+ϵgab)/(2c) for all a,b, it follows that ϵˆf(ϵg+ϵh)/(2c). QED

Lemma 3 shows that the constant c above is the best you can hope for (even for k=0 and ϵ=0.5).

Lemma 3: There exists f such that f is (0.5/c)-near two functions g and h, where g has no influencing variables in S2 and h has no influencing variables in S1, and f is 0.5-far from every constant function.

Proof. Let y and z be x restricted to, respectively, S1 and S2. That is, y=(x1,,xn/2) and z=(xn/2+1,,xn).

Identify each possible y with a unique element of [N], where N=2n/2. Likewise, identify each possible z with a unique element of [N]. Thus, we think of f as a function from [N]×[N] to {0,1}.

Define f(y,z) to be 1 iff max(y,z)12N.

By calculation, the fraction of f's values that are zero is (12)2=12, so both constant functions have distance 12 to f.

Define g(y,z) to be 1 iff y12N. Then g has no influencing variables in S2. The distance from f to g is the fraction of pairs (y,z) such that y<12N and z12N. By calculation, this is at most 12(112)=0.5/c

Similarly, the distance from f to h, where h(y,z)=1 iff z12N, is at most 0.5/c.

QED

Neal Young
источник
First of all, thanks Neal! This indeed sums it up for k=0, and sheds some light on the general problem. However in the case of k=0 the problem is a bit degenerate (as 2k=k), so I'm more curious regarding the case of k1. I didn't manage to extend this claim for k>0, so if you have an idea on how to do it - I'd appreciate it. If it simplifies the problem, then the exact constants are not crucial; that is, ϵ/2-far can be replaced by ϵ/c-far, for some universal constant c.
2
I've edited it to add the extension to general k. And Yuri's argument below gives a slightly looser factor with an elegant probabilistic argument.
Neal Young
Sincere thanks Neal! This line of reasoning is quite enlightening.