Вычисление закрытия профсоюза

10

Для данного семейства не более подмножеств . Замыкание объединения другого набор семейство , содержащий каждый набор , который можно построить, взяв объединение 1 или более множеств в . Byмы обозначим число множеств в . n { 1 , 2 , , n } F C F | C | СFN{1,2,...,N}FСF|С|С

Какой самый быстрый способ вычислить закрытие объединения?

Я показал эквивалентность между замыканием объединения и перечислением всех максимальных независимых множеств в двудольном графе, поэтому мы знаем, что определение размера замыкания объединения является # P-полным.

Однако есть способ перечислить все максимальные независимые множества (или максимальные клики) за времени для графа с узлами и ребрами Tsukiyama et al. 1977. Но это не специализировано для двудольных графов.n mО(|С|Nм)Nм

Мы дали алгоритм для двудольных графов со временем выполнения http://www.ii.uib.no/~martinv/Papers/BooleanWidth_I.pdf|С|журнал|С|N2

Наш метод основан на наблюдении, что любой элемент в может быть сделан объединением некоторого другого элемента и одного из исходных наборов. Следовательно, всякий раз, когда мы добавляем элемент в пытаемся расширить его на один из исходных наборов. Для каждого из этихустанавливает нам нужно проверить , если они все еще находятся в . Мы храним как двоичное дерево поиска, поэтому каждый поиск занимает раз.C C n n | C | C C log | C | нСССNN|С|ССжурнал|С|N

Можно ли найти объединение за времени? Или даже во времени ?СО(|С|N2)О(|С|N)

Мартин Ватшелле
источник
|С|
|С|С
Хотя это вряд ли поможет в вашем вопросе, вы задаете особый случай вычисления восходящего замыкания элементов в решетке, и мне интересно, есть ли какие-то результаты, которые могут быть полезны.
Суреш Венкат
Опрос, на который я указываю в своем ответе ниже, дает некоторые ссылки с решетками.
М. Канте

Ответы:

3

Сложность перечисления максимальных независимых множеств в графах такая же, как и в двудольных графах, поэтому двудольность не приносит ничего нового.

О(|С|N2)

М. Канте
источник