GI и проблема узлов являются проблемой определения структурной эквивалентности математических объектов. Есть ли какие-либо результаты установления связей между ними? Хорошие связи проблемы узлов со статистической физикой были изучены с помощью полиномов узлов , есть ли похожие результаты для ?
Было бы особенно полезно узнать, есть ли какие-либо стандартные результаты / предупреждения / предложения / комментарии, прежде чем начать изучать мотивирован проблемой узла. На самом деле, мне было интересно, если это рекомендуется для изучения в этом направлении для моей магистерской диссертации. Я интересуюсь квантовыми / классическими подходами к G I и алгебраическими задачами. Любые другие предложения приветствуются.
Ответы:
Одна связь состоит в том, что изоморфизм графов и изоморфизм узлов являются частными случаями 3-многообразного гомеоморфизма. В случае узла два узла изоморфны, если их дополнения (многообразия, образованные удалением точек узла из 3-пространства) гомеоморфны.
А в случае графов графы можно преобразовывать в многообразия таким образом, чтобы графы были изоморфными тогда и только тогда, когда многообразия гомеоморфны. Я написал комментарий об этом в пост в Google+ в декабре прошлого года, но, к сожалению, не в пост, которым я могу поделиться. Конструкция должна начинаться с многообразия для каждой вершины v в форме дополнения в 3-сфере букета петель степени (v) (соединенных вместе в общей вершине). Для каждого края uv соедините коллекторы для u и v вместе с помощью операциии свяжите одну петлю от вас и одну петлю от v поперек операционного шара. Тогда каждый изоморфизм графов поднимается до гомеоморфизма получающегося многообразия (это было бы верно, даже если бы мы только использовали операцию на 3-сферах без букетов), и букеты препятствовали тому, чтобы у многообразия были дополнительные гомеоморфизмы, которые не происходят из графа. ,
источник
более общий вопрос - это связь между теорией узлов и теорией графов. В качестве одного из возможных мест для начала есть связь между полиномом Джонса (используется для классификации узлов) и полиномом Тутте плоских графов. то есть в теории узлов, многочлен Тутте появляется как многочлен Джонса чередующегося узла. (так что, возможно, есть некоторая связь теории узлов с GI на плоских графах.)
см. 7,8 в:
Вычисление полинома Тутте для графа и полинома Джонса для переменного звена умеренного размера Sekine, Imai, Tani
ПОЛИНОМ И ДЖОНСЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ОЛИВЕР Т. ДАСБАХ, ДЭВИД ФУТЕР, ЭФСТРАТИЯ КАЛЬФАГИАННИ, СЯО-СОНГ ЛИН, И НИЛ У. СТОЛЬЦФУС
источник