Трудные задачи для графов высшего рода

17

Планарные графы имеют род ноль. Графы, встраиваемые в тор, имеют род не более 1. Мой вопрос прост:

  • Есть ли какие-нибудь проблемы, которые полиномиально разрешимы на плоских графах, но NP-трудны на графах рода один?

  • В более общем смысле, существуют ли проблемы, которые полиномиально разрешимы на графах рода g, но NP-трудны на графах рода> g?

Шива Кинтали
источник
Что касается второго вопроса, хотите ли вы, чтобы задача была NP-трудной для графов рода> = k, где k - это константа, превышающая g? ИЛИ вы просто хотите, чтобы задача была NP-трудной для графов, род которых не меньше g (что эквивалентно тому, что NP-сложна для общих графов)?
Робин Котари
1
Я ищу задачи NP-Hard для графов рода> = k, где k - константа, большая чем g.
Шива Кинтали

Ответы:

16

Это гласность моей собственной работы, но число пересечений и 1-планарность тривиально разрешимы на плоских графах, но трудно для графов рода один. См. Http://arxiv.org/abs/1203.5944

кто то
источник
3
«График близок к плоскому, если его можно получить из плоского графа путем добавления ребра. График является 1-плоским, если на нем есть чертеж, где каждое ребро пересекается не более чем одним другим ребром. Мы показываем, что это NP -трудно решить, является ли данный близкий планарный граф 1-планарным. " Я должен что-то упустить. Почему не каждый почти плоский план также является 1-плоским?
Тайсон Уильямс
4
Я думаю, что вы говорите, что вы можете просто взять плоское вложение и добавить ребро обратно. Однако этот дополнительный ребро может пересечь более одного ребра, нарушив 1-плоскость. Ge
Тимоти Сан
@TimothySun Да. Каждое ребро, кроме будет пересечено не более одного раза ( e ), но e может быть пересечено более чем одним другим ребром, что недопустимо. Благодарю. eee
Тайсон Уильямс
4

Если проблемы с игрушкой в ​​порядке:

Пусть и H некоторый граф рода g + 1 . Для ф с CNF-формулы, пусть G ф некоторого кодирование ф как плоский графом плюс дизъюнктной копию H .gNHg+1ϕGϕϕH

Учитывая , который является графом рода g + 1 , NP-трудно решить, выполнимо ли ϕ . Эта проблема, однако, становится тривиальной, когда она ограничена графами рода g .Gϕg+1ϕg

Раду Куртиканский
источник
2
что это за проблема на графах рода g
Сашо Николов
1
Все графы имеют род g + 1 . Таким образом, если вы ограничите задачу графами рода g , вы всегда можете отказаться. Gϕg+1g
Раду Куртикапей
ах, это становится действительно тривиальным, я вижу
Сашо Николов
2

РЕДАКТИРОВАТЬ (2012-09-05): Джефф и Раду комментарии правы. Приведенный результат не отвечает на вопрос. Для того, чтобы расширить комментарий Radu, вот является связанным алгоритмом с помощью Бравого , который дает алгоритм для контрактов matchgate тензоров на графу с родом г с временем выполнения Т = р ø л у ( п ) + - 2 г O ( м 3 ) где m - минимальное количество ребер, которые нужно удалить из G , чтобы сделать его плоским.GgT=poly(n)+22gO(m3)mG


Cai, Lu и Xia недавно доказали следующую дихотомию проблем подсчета #CSP:

Доказаны теоремы о дихотомии сложности в рамках подсчета задач CSP. Локальные функции ограничения принимают логические входные данные и могут быть произвольными действительными симметричными функциями. Мы доказываем, что каждая проблема в этом классе принадлежит именно к трем категориям:

(1) те, которые можно вычислить (т. Е. Вычислить за полиномиальное время) на общих графах, или
(2) те, которые # P-сложны на общих графах, но прослеживаемы на плоских графах , или
(3) те, которые # P-сложны даже на плоских графиках.

Критерии классификации явные.

Мартин Шварц
источник
2
Это не отвечает на вопрос. Можно ли разделить категорию (2) на (2a), пригодные для плоских графов, но # P-hard для тороидальных графов и (2b), пригодные для графов ограниченного рода, но # P-hard для графов неограниченного рода?
Джефф
3
Случай (2) состоит из задач, которые могут быть сведены к подсчету идеальных совпадений в плоских графах путем введения локальных плоских гаджетов. Он также известен , что совершенные паросочетания можно пересчитать за полиномиальное время на ограниченном-роде граф. Таким образом, все задачи в случае (2) фактически разрешимы на графах ограниченного рода.
Раду Куртикапин
2

граммграммИксграммграммграммграммИксграммграмм

СС

Дэвид Ричерби
источник