Энтропия свертки над гиперкубом

Скажем, у нас есть функция , такая, что ∑ x ∈ Z n 2 f ( x ) 2 = 1 (поэтому мы можем думать о { f ( x ) 2 } x ∈ Z n 2 как о распределении) , Естественно определить энтропию такой функции следующим образом: H ( f ) = - ∑ x ∈ Z n 2 f ( $f:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$$\sum _{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 = 1$$\{ f(x)^2\} _{x\in \mathbb{Z}_2^n}$

$$H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 \log \left( f(x)^2 \right) .$$

Теперь рассмотрим свертку с самим собой: [ f ∗ f ] ( x ) = ∑ y ∈ Z n 2 f ( y ) f ( x + y ) . (Обратите внимание, что поскольку мы имеем дело с Z n 2 , то x + y = x - y )$f$

$$[ f*f] (x) = \sum_{y \in \mathbb{Z}_2^n}f(y)f(x+y) .$$ $\mathbb{Z}_2^n$$x+y=x-y$

$f*f$$L_2$$f$$C$

$$H \left( \frac{f*f}{\|f*f\|_2} \right) \le C \cdot H(f)$$

Там нет такого . Определите помощью $C$$g\colon\mathbb{Z}_2^n\to\mathbb{R}$

$$g(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{2n/3}&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 1&\text{ otherwise.}\end{cases}$$

Тогда удовлетворяет $g*g$

$$(g*g)(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{4n/3}+2^n-1&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 2^{2n/3}\cdot 2+2^n-2&\text{ otherwise.}\end{cases}$$

Пусть . Тогда есть (фактически оно экспоненциально мало по ), а примерно . Н ( е ) = Н ( г / | | г | | 2 ) О ( 1 ) п Н ( г * г / | | г * г | | 2 ) $f=g/\|g\|_2$$H(f)=H(g/\|g\|_2)$$o(1)$$n$$H(g*g/\|g*g\|_2)$$n$