В квантовой теории информации расстояние между двумя квантовыми каналами часто измеряется с использованием алмазной нормы. Существует также ряд способов измерения расстояния между двумя квантовыми состояниями, таких как расстояние следа, точность и т. Д. Изоморфизм Ямиолковского обеспечивает двойственность между квантовыми каналами и квантовыми состояниями.
Это интересно, по крайней мере для меня, поскольку общеизвестно, что алмазную норму трудно вычислить, и изоморфизм Ямиолковского, по-видимому, подразумевает некоторую корреляцию между мерами расстояния квантовых каналов и квантовыми состояниями. Итак, мой вопрос заключается в следующем: есть ли известная связь между расстоянием в алмазной норме и расстоянием между ассоциированными состояниями (в некоторой мере)?
источник
Ответы:
Для квантового канала запишем J ( Φ ) для обозначения ассоциированного состояния: J ( Φ ) = 1Φ J(Φ)
Здесь мы предполагаем, что канал отображаетMn(C)(то есть,n×nкомплексные матрицы) вMm(C)для любого выбора натуральных чиселnиm, которыйвам нравится. МатрицаJ(Φ)
(Обратите внимание, что приведенное выше определение не работает для произвольных отображений, только определения вида для полностью положительных отображений и . Для общих отображений супремум берется по всем матрицам с нормой следа 1, а не просто матрицы плотности.)Φ=Φ0−Φ1 Φ0 Φ1
Если у вас нет дополнительных предположений о каналах, вы не можете сказать слишком много о том, как эти нормы соотносятся с этими грубыми границами: Что касается второго неравенства, то по существу можно согласиться на конкретный выбор вместо того , супремум по всем
Вы можете достичь любого неравенства для соответствующего выбора каналов и , даже при дополнительном допущении, что каналы отлично различимы (имеется в виду ).Φ0 Φ1 ∥Φ0−Φ1∥◊=2
источник
Возможно, вы также захотите изучить меры расстояния для сравнения реальных и идеальных квантовых процессов arXiv: quant-ph / 0408063, в котором дается обзор мер расстояния для квантовых каналов и их взаимосвязей.
Они используют термин « расстояние S» для расстояния алмаза и « J расстояние» для расстояния следа операторов Ямиолковского, связанных с каналами.
источник
Мне нравится думать о первом неравенстве, которое Ватроус написал с точки зрения вероятностной телепортации канала. Если вы интерпретируете алмазную норму как меру наименьшей вероятности ошибки в различающих каналах и , а норму трассы как эквивалент их состояний Ямиолковского, вы всегда можете реализовать оптимальную стратегию для каналов из их соответствующих состояний с помощью вероятность успеха. Строго говоря, это может быть способом доказать неравенство.Φ0 Φ1 1n
Кроме того, этот способ мышления показывает, что если каналы можно детерминировать телепортированием (например, каналы Паули), то их алмазная норма равна расстоянию следа Ямиолковского.
источник