Есть ли связь между алмазной нормой и расстоянием связанных состояний?

19

В квантовой теории информации расстояние между двумя квантовыми каналами часто измеряется с использованием алмазной нормы. Существует также ряд способов измерения расстояния между двумя квантовыми состояниями, таких как расстояние следа, точность и т. Д. Изоморфизм Ямиолковского обеспечивает двойственность между квантовыми каналами и квантовыми состояниями.

Это интересно, по крайней мере для меня, поскольку общеизвестно, что алмазную норму трудно вычислить, и изоморфизм Ямиолковского, по-видимому, подразумевает некоторую корреляцию между мерами расстояния квантовых каналов и квантовыми состояниями. Итак, мой вопрос заключается в следующем: есть ли известная связь между расстоянием в алмазной норме и расстоянием между ассоциированными состояниями (в некоторой мере)?

Джо Фитцсимонс
источник
7
Я не уверен, что вы подразумеваете под «алмазной нормой, как известно, сложно вычислить». Если вам дан квантовый канал в качестве явной матрицы (например, его представления Чой-Ямиолковского), квадрат его алмазной нормы можно сформулировать как полуопределенная программа; см. раздел 20.4 конспекта лекции Джона Уотроуса . В этом смысле алмазная норма имеет эффективные средства для расчета.
Цуёси Ито
3
@Tsuyoshi: я просто ссылался на неявную оптимизацию. Я имел в виду не вычислительную сложность, а довольно неудобную работу.
Джо Фитцзимонс
5
Это очень хорошие лекционные заметки.
Суреш Венкат
1
@Suresh @ Tsuyoshi: Да, это отличные заметки, но я не думаю, что они отвечают на этот конкретный вопрос.
Джо Фицсимонс
@TsuyoshiIto: по какой-то причине последний раздел слайдов QIP - 20.3. У вас есть более полный набор лекций?
Артем Оботуров

Ответы:

26

Для квантового канала запишем J ( Φ ) для обозначения ассоциированного состояния: J ( Φ ) = 1ΦJ(Φ) Здесь мы предполагаем, что канал отображаетMn(C)(то есть,n×nкомплексные матрицы) вMm(C)для любого выбора натуральных чиселnиm, которыйвам нравится. МатрицаJ(Φ)

J(Φ)=1n1i,jnΦ(|ij|)|ij|.
Mn(C)n×nMm(C)nmJ(Φ)иногда называют матрицей Чи или Ча-Jamiolkowski представлением , но более часто , что использует эти термины , когда 1Φ нормализация опущена.1n

Φ0Φ1

Φ0Φ1=supρ(Φ0Idk)(ρ)(Φ1Idk)(ρ)1
IdkMk(C)1k1ρMnk(C)=Mn(C)Mk(C)knρ

(Обратите внимание, что приведенное выше определение не работает для произвольных отображений, только определения вида для полностью положительных отображений и . Для общих отображений супремум берется по всем матрицам с нормой следа 1, а не просто матрицы плотности.)Φ=Φ0Φ1Φ0Φ1

Если у вас нет дополнительных предположений о каналах, вы не можете сказать слишком много о том, как эти нормы соотносятся с этими грубыми границами: Что касается второго неравенства, то по существу можно согласиться на конкретный выбор вместо того , супремум по всем

1nΦ0Φ1J(Φ0)J(Φ1)1Φ0Φ1.
ρ=1n1i,jn|ij||ij|
ρ, Первое неравенство является более жестким предложением, но это будет разумный вопрос для аспирантуры по квантовой информации. (На данный момент я должен поблагодарить вас за ваш вопрос, потому что я полностью намереваюсь использовать этот вопрос в осеннем предложении моего курса по квантовой теории информации.)

Вы можете достичь любого неравенства для соответствующего выбора каналов и , даже при дополнительном допущении, что каналы отлично различимы (имеется в виду ).Φ0Φ1Φ0Φ1=2

Джон Уотроус
источник
Спасибо Джону, что отлично отвечает на мой вопрос и сэкономил мне много времени.
Джо Фицсимонс
7

Возможно, вы также захотите изучить меры расстояния для сравнения реальных и идеальных квантовых процессов arXiv: quant-ph / 0408063, в котором дается обзор мер расстояния для квантовых каналов и их взаимосвязей.

Они используют термин « расстояние S» для расстояния алмаза и « J расстояние» для расстояния следа операторов Ямиолковского, связанных с каналами.

Антонио Валерио Мицели-Бароне
источник
6

Мне нравится думать о первом неравенстве, которое Ватроус написал с точки зрения вероятностной телепортации канала. Если вы интерпретируете алмазную норму как меру наименьшей вероятности ошибки в различающих каналах и , а норму трассы как эквивалент их состояний Ямиолковского, вы всегда можете реализовать оптимальную стратегию для каналов из их соответствующих состояний с помощью вероятность успеха. Строго говоря, это может быть способом доказать неравенство.Φ0Φ11n

Кроме того, этот способ мышления показывает, что если каналы можно детерминировать телепортированием (например, каналы Паули), то их алмазная норма равна расстоянию следа Ямиолковского.

Алекс Монрас
источник