Подсчет количества толстых областей, которые перекрывают квадрат

Позволять $S$быть единым квадратом. Как функция$\beta$какое максимальное количество $\beta$-жирных попарно непересекающихся областей диаметром не менее 1, которые могут пересекаться$S$?

Ниже мы приводим рисунок, показывающий, что для $\beta=1$Максимальное количество равно 7. Как насчет для $\beta = 2, 3, \ldots, n$?

Напомним определение жира для областей на плоскости. Учитывая регион$R$арт круг $C_1$ радиуса $r_1$ быть самым большим кругом, содержащимся в $R$, и пусть круг $C_2$ радиуса $r_2$ быть наименьшим кругом, который содержит $R$, Упитанности из$R$ дан кем-то $\frac{r_2}{r_1}$и мы говорим, что $R$ является $\beta$жир, для $\beta = \frac{r_2}{r_1}$,

Например, если $r_2 = r_1=\frac{1}{2}$тогда области представляют собой единичные окружности, и имеется 7 окружностей диаметром не менее 1, которые могут перекрываться $S$не перекрывая друг друга. На рисунке ниже мы изобразили квадрат единицы и 7 кругов единицы, которые перекрывают квадрат.

Я думаю, что максимальное количество попарно непересекающихся жировых областей, которые перекрывают квадрат, должно быть тесно связано с упаковкой кругов.

Наихудшая форма для региона - это что-то вроде мяча и цепочки. Ниже я изобразил такой регион для$\beta=2$ с диаметром 1

,

и они могут упаковать на расстоянии 1 от квадрата единицы, очевидно, гораздо плотнее, чем я их изобразил.

Обратите внимание, что фактическая область шарика и цепи определяется зеленой областью, а внешний круг является всего лишь ориентиром, чтобы изобразить тот факт, что эти области имеют жирность 2. Фактически, часть цепи области может «сгибаться», чтобы позволить больше регионов для упаковки.