Точный алгоритм для задачи маркировки ребер в DAG

14

Я внедряю некоторую системную часть, которая требует некоторой помощи. Поэтому я формулирую это как проблему графа, чтобы сделать его независимым от домена.

Задача: Нам дан ориентированный ациклический граф . Без ограничения общности предположим, что G имеет ровно одну исходную вершину s и ровно одну стоковую вершину t ; Пусть Р обозначает множество всех направленных путей от й до т в G . Мы также дали множество вершин R V . Задача состоит в том, чтобы назначить неотрицательные целочисленные веса ребрам G , поэтому любые два пути в P имеют одинаковый вес, если и только если они содержат одинаковое подмножество вершин вG=(V,E)GstPstGRVGP . (Вес пути - это сумма весов его ребер.) Диапазон весов путей в P должен быть как можно меньше.RP

В настоящее время мой подход не кажется эффективным; Я просто ищу ссылки на литературу или хорошие идеи. Все остальное также ценится.

Изменить: Есть ли доказательства твердости для этой проблемы? Всегда ли существует компактная нумерация?

user5153
источник
4
уточните, пожалуйста, «Диапазон весов путей в P должен быть оптимальным». Веса только целые числа? Разрешены ли нам отрицательные веса? Оптимальный означает «как можно меньший диапазон» или это что-то еще?
Артем Казнатчеев
2
я редактировал вопрос Спасибо за ваш комментарий. веса должны быть неотрицательными целыми числами, а диапазон должен быть как можно меньше.
user5153
5
Простая стратегия для нахождения правильного решения состояла бы в том, чтобы назначить различную степень два каждой вершине v в R, использовать это число в качестве веса всех входящих ребер для v и присвоить нулевой вес всем оставшимся ребрам. Очевидно, что это не может быть оптимальным, но, по крайней мере, дает верхнюю границу необходимого диапазона. Является ли когда-либо улучшением то, что разные ребра через одну и ту же вершину в R имеют разные веса друг от друга, или вы можете упростить задачу, заставив веса идти с вершинами, а не с ребрами?
Дэвид Эппштейн
3
O(2|R|)G=(V,E)V=[n]{s,t}E={(i,j):i<j}{(s,1),(n,t),(s,t)}R=[n]2nR2n1
1
конечно, в худшем случае я имел в виду туго (на самом деле я написал это в первой версии этого комментария, которая потерялась). Я подумал, что было бы хорошо сначала установить некоторые абсолютные границы, так как никто еще не решил проблему оптимизации.
Сашо Николов

Ответы:

-6

Я не слышал об этой проблеме именно в литературе [возможно, кто-то другой], однако, как «соседняя проблема», мне кажется, что минимальное связующее дерево будет иметь полезные свойства для решения вашей проблемы. например, возможно, создание двух минимальных остовных деревьев, начиная с исходной вершины и вершины синхронизации, и распространение их наружу, пока они не коснутся и т. д., может решить проблему или дать точный ответ. прежде чем кто-нибудь скажет мне об этом, пожалуйста, поймите, что я немного расширяю идею MST, которая будет сгенерирована, начиная с заданной вершины [обычно она начинается с самого короткого ребра во всем графе]. если это не работает, мне было бы любопытно по этой причине.

ВЗН
источник
5
Извините, но я не вижу актуальности этого ответа на этот вопрос.
Дэвид Эппштейн
может быть, у вас есть лучшее представление о чем он говорит? имеет ли это смысл для вас, как указано?
ВЗН
1
Ему нужно назначить веса для ребер. Как вычисление MST поможет этому?
Николас Манкузо
хорошо, когда вы его прочитали, и, когда никто другой не предложил ответ, казалось, что проблему можно преобразовать в две части: (1) назначить веса на основе критериев / ограничений, (2) найти кратчайшие пути на основе этих весов. кажется MST может быть полезным на (2). а может и нет! (например, может быть 1/2 тесно связаны)
vzn
1
Нет. Минимальные связующие деревья только для неориентированных графов; входной граф направлен. Более того, минимальные остовные деревья поверхностно связаны только с кратчайшими путями.
Джефф