Может ли минимальное сокращение быть проще, чем сетевой поток?

18

Благодаря теореме min-cut о максимальном потоке мы знаем, что мы можем использовать любой алгоритм для вычисления максимального потока в сетевом графе для вычисления -min-cut. Следовательно, сложность вычисления минимального -среза не больше, чем сложность вычисления максимального -потока.(s,T)(s,T)(s,T)

Может ли быть меньше? Может ли быть алгоритм для вычисления минимального -среза, который быстрее любого алгоритма максимального потока?(s,T)

Я пытался найти сокращение, чтобы свести проблему ) -max-flow к проблеме -min-cut, но я не смог ее найти. Моей первой мыслью было использование алгоритма «разделяй и властвуй»: сначала найдите минимальный разрез, который разделяет график на две части; Теперь рекурсивно найдите максимальный поток для левой части и максимальный поток для правой части и объедините их вместе со всеми ребрами, пересекающими разрез. Это действительно будет работать для создания максимального потока, но его время выполнения в худшем случае может быть в раз больше времени выполнения алгоритма min-cut. Есть ли лучшее сокращение?(s,T(s,T)О(|В|)

Я понимаю, что теорема о минимальном сечении максимального потока показывает, что сложность вычисления значения максимального потока такая же, как сложность вычисления емкости минимального сечения, но я не об этом. Я спрашиваю о проблеме нахождения максимального потока и нахождения минимального среза (явно).

Это очень тесно связано с вычислением максимального потока из минимального сокращения , за исключением: (1) я хочу разрешить сокращения Кука (сокращения Тьюринга), а не только сокращения Карпа (многократные сокращения) и (2) возможно, учитывая мы можем найти некоторый граф такой, что минимальный срез облегчает вычисление максимального потока , что является чем-то, что выходит за рамки этого другого вопроса.GGGграмм

DW
источник
2
@AshkanKzme, я не слежу за тобой; можешь уточнить? Как я утверждаю в 4-м абзаце вопроса, теорема о минимальном сечении максимального расхода показывает, что значение максимального потока равно пропускной способности минимального среза. Я подозреваю, что это то, что вы думаете. Однако знание значения максимального потока не говорит вам о самом максимальном потоке (например, сколько нужно отправить на каждом конкретном ребре). Этот вопрос задает вопрос о сложности вычисления самого максимального потока по сравнению с вычислением самого минимального сокращения. Мой вопрос точно такой, как указано во втором абзаце вопроса.
DW
2
@AshkanKzme, нет, я не ошибся. Вы неявно предполагаете, что Ford-Fulkerson - это самый быстрый из возможных алгоритмов поиска минимального разреза ... но, насколько я знаю, никто никогда не доказывал этого, и мы не знаем, правильно это или нет. Мне кажется, что вы делаете стандартную ошибку новичка с нижними доказательствами: «Я не вижу способа быстрее решить эту проблему, поэтому это должно быть невозможно». (PS Вы рассказываете мне стандартные учебники о минимальном срезе с максимальным потоком. Я ценю вашу попытку помочь, но я уже знаком с этим ...)
DW
1
Что касается вашего утверждения «Я думаю, что можно доказать, что если у вас есть только минимальное сокращение, вы можете получить максимальный поток», то я призываю вас написать ответ с доказательством этого - потому что это в основном то, что мой вопрос задаю Я никогда не видел доказательства этого, но если у вас есть, я надеюсь, что вы напишите это!
DW
1
@DW Я думаю, теперь мне стало легче. Я думаю, что меня обескуражил тот факт, что вы даете полиномиальное сокращение Тьюринга. Разве вам не нужно постоянное уменьшение Тьюринга, чтобы доказать , в то время как даже доказательство того, что такое сокращение невозможно, не опровергает его? f(n)=Θ(g(n))
Томас Босман
1
@ThomasBosman, да, это правильно. [Извините, что сбил вас с толку. Приведенная мною редукция доказывает, что , что является очень слабой нижней границей. Я надеюсь, что может быть сокращение, которое доказывает, что f ( n ) = Ω ( g ( n ) ) , но я не знаю, как построить такую ​​вещь.]f(n)=Ω(g(n)/n)f(n)=Ω(g(n))
DW

Ответы:

-1

Вот возможный подход:

Предположим, что вы знаете срез S, а затем нахождение потока от до t является проблемой сетевого потока с минимальными затратами при нулевой стоимости, поскольку вы точно знаете отток в каждой вершине в V S и приток в t . Предположим, что f обозначает поток S - t, а A - матрицу узловой дуги (т. Е. Строка i , col j имеет 1, если i является хвостом j , -1, если ее голова, в противном случае ноль), и пусть b будет таким, что A f = b, если fStVStfStAijijbAf=bfудовлетворяет спрос / предложение и сохранение потока. Тогда с помощью исключения Гаусса мы можем найти допустимое решение в операции.|V|3

Чтобы найти срез из потока, нам нужно построить остаточный граф, который принимает максимум время, а затем потенциально пройти | V | Вершины. |E||V|

Таким образом, для полных графиков и минимального среза, являющегося только источником или только стоком, сокращение занимает одинаковое время в обоих направлениях в худшем случае. Тем не менее, я думаю, что нахождение возможного решения может быть сделано быстрее, чем | V | 3 с учетом специальной структуры. Я не уверен, как доказать это, хотя.Af=b|V|3

Томас Босман
источник
Я не понимаю, как найти с использованием исключения Гаусса. У нас есть | V | линейные уравнения в | E | Неизвестные. Обычно | E | > | V | , поэтому у нас не будет достаточно уравнений, чтобы однозначно определить неизвестных. Есть ли уловка, которую я пропускаю? f|V||E||E|>|V|
DW
Я не эксперт в этом, поэтому я могу ошибаться. Но тот факт, что не существует уникального решения, кажется, облегчает его. Если вы уменьшите его до строки с уменьшенной формой эшелона, у вас есть независимые столбцы. Тогда уникальное решение этой подматрицы и b в сочетании с нулевым потоком для всех остальных столбцов даст неуникальное решение, которое само по себе не является проблемой. Проблема , которую я могу предвидеть, что е нарушает ограничения пропускной способности, но интуитивно я бы сказал , что есть способ , чтобы обойти это прямо|V|bf
Томас Bosman
Да, ограничения емкости кажутся ключевой проблемой. В противном случае решение системы линейных уравнений может дать вам решение, которое удовлетворяет но не является допустимым потоком, поскольку оно нарушает ограничения по пропускной способности. Af=b
DW
Дерьмо это правильно. Вы можете добавить ограничения (верхние и нижние), которые, как вы знаете, имеют решение, но тогда у вас есть | V | +2 | E | строк, так что это будет медленнее, чем просто вычисление максимального потока напрямую.
Томас Босман
Другая проблема заключается в том, что ограничения емкости - это неравенства (не равенства), поэтому вы не можете использовать исключение Гаусса: вам нужно использовать линейное программирование, которое, как вы говорите, вряд ли будет быстрее, чем просто вычисление максимальный поток напрямую.
DW