Я думаю об унарных языках , где - множество всех слов, длина которых равна сумме квадратов. Формально: Легко показать, что L 1 = { a n 2 ∣ n ∈ N 0 } не является регулярным (например, с леммой Пампинга). Кроме того, мы знаем, что каждое натуральное число является суммой четырех квадратов, из чего следует, что при k ≥ 4 все языки L k являются регулярными, поскольку L k = L ( a ∗ ) .
Теперь меня интересуют случаи и k = 3 :
, L 3 = { п 1 2 + п 2 2 + п 3 2 | п 1 , п 2 , п 3 ∈ N 0 } .
К сожалению, я не могу показать, являются ли эти языки регулярными или нет (даже с помощью теоремы Лежандра о трех квадратах или теоремы Ферма о суммах двух квадратов ).
Я вполне уверен, что по крайней мере не является регулярным, но несчастливое мышление не является доказательством. Любая помощь?
Ответы:
Давайте начнем с . Известно, что верхняя плотность целых чисел, которые являются суммой двух квадратов, равна 0. Если бы L 2 был регулярным, то он был бы в конечном итоге периодическим, и поэтому, поскольку его верхняя плотность равна 0, он конечен. Но мы знаем, что в L 2 есть сколь угодно большие целые числа , поэтому L 2 не может быть регулярным.L2 L2 L2 L2
Что касается , рассмотрим слова w k = 1 4 k 7 . Я утверждаю , что для к < л , слова ш к , ш л неэквивалентны. Действительно, w k 1 4 k 8 ∉ L 3, а w ℓ 1 4 k 7 ∈ L 3 . Тогда критерий Майхилла-Нерода показывает, что L 3 нерегулярно.L3 wk=14k7 k<ℓ wk,wℓ wk14k8∉L3 wℓ14k7∈L3 L3
источник
Предположим, что регулярно. Тогда его дополнение, которое по теореме Лежандра о трех квадратах равно { a n | n = 4 k ( 8 l + 7 ) , k , l ∈ N } . По теореме Париха это означало бы, что множество длин S = { 4 k ( 8 l + 7 ) | k , l ∈ N }L3 {an | n=4k(8l+7),k,l∈N} S={4k(8l+7) | k,l∈N} является полу-линейным, то есть конечное объединение линейных множеств S я = { а я + г Ь I | r ∈ N } .⋃Ni=1Si Si={ai+rbi | r∈N}
Рассмотрим два элемента при k 1 > k 2 , и пусть r : = k 1 - k 2 . Если s 1 , s 2 оба находятся в одном и том же S i , то либоs1=4k1(8l1+7),s2=4k2(8l2+7)∈S k1>k2 r:=k1−k2 s1,s2 Si или 2 s 2 - s 1 (в зависимости от того, s 1 < s 2 или s 1 > s 2 ). Но2s1−s2 2s2−s1 s1<s2 s1>s2
Ни один из них не находится в , поэтому s 1 , s 2 должны быть в разных членах объединения. Но это невозможно, так как S - конечное объединение и существует бесконечно много разных k .S s1,s2 S k
Следовательно, не является регулярным.L3
источник