Асимптотика числа слов в обычном языке заданной длины

Для обычного языка , пусть с п ( Ь ) быть число слов в L длины п . Используя Jordan канонической форму (применительно к Неаннотированным матрицам перехода некоторого DFA для L ), можно показать , что при достаточно большой п , с п ( L ) = K Е я = 1 P я ( п ) Л н I , где Р я являются сложными полиномами и λ $L$$c_n(L)$$L$$n$$L$$n$

Это представление , кажется, подразумевает , что если бесконечен , то асимптотически, с п ( L ) ~ С п к λ п для некоторого C , λ > 0 . Однако это явно неверно: для языка L, превышающего { 0 , 1 } всех слов четной длины, c 2 n ( L ) = 2 2 n, но c 2 n + 1 ( L ) $L$$c_n(L) \sim C n^k \lambda^n$$C,\lambda>0$$L$$\{0,1\}$$c_{2n}(L) = 2^{2n}$ . Это говорит о том, что для некоторого d и для всех a ∈ { 0 , … , d - 1 } либо c d m + a ( L ) = 0 для достаточно большого m, либо c d m + a ∼ C a ( d m + a ) k a λ d m + a a . Это доказано вFlajolet & Sedgewick$c_{2n+1}(L) = 0$$d$$a \in \{0,\ldots,d-1\}$$c_{dm+a}(L) = 0$$m$$c_{dm+a} \sim C_a (dm+a)^{k_a} \lambda_a^{dm+a}$ (Теорема V.3), которые приписывают доказательство Берстелю.

Доказательство, предоставленное Фолоулетом и Седжвиком, является в некоторой степени техническим; настолько технически, на самом деле, что они только зарисовывают это. Я попытался получить более элементарное доказательство, используя теорию Перрона-Фробениуса. Мы можем рассматривать граф перехода ДФА как орграф. Если орграф примитивен, то результат следует почти непосредственно из теоремы Перрона-Фробениуса. Если орграф неприводим, но импримитивен с индексом , то, учитывая « r- ую степень» DFA (каждый переход соответствует r символам), мы получаем тот же результат. Трудный случай, когда орграф сводим. Мы можем свести к случаю пути сильно связных компонент, а затем получить результат, оценив суммы вида ∑ m 1$r$$r$$r$ (Каждая такая сумма соответствует определенному способу принятия слова, проходя через различные компоненты определенным образом.) Эта сумма, в свою очередь, может быть оценена путем точного определения наибольшего члена, который соответствуетmi∝logλi. Для каждого собственного значения, которое повторяетсяrраз, мы получаем дополнительный множительΘ(m r - 1 ).

$C \lambda_i^m$

$c_n(L)$$d$$dm+a$$Cn^k\lambda^n$$d$

$c_n(L)$

Набросок, который вы набросали, похоже, соответствует трактовке Ричарда Стэнли метода матричного переноса в перечислительной комбинаторике, том 1 (ссылка: стр. 573; печать: стр. 500).

Он начинает с производящей функции и распаковывает ее, рассматривая орграфы и допустимые и запрещенные факторы. Затем он абстрагируется от бесплатных моноидов, где использует уточненную версию сумм, которые вы дали для доказательства:

$B$$A^*$$B$$B^*(\lambda)=(I-B(\lambda))^{-1}$

Проработав несколько приложений, он также закрывает раздел, обсуждая продукты Адамара относительно горизонтально-выпуклых полиамино.