Я задал (начальный) вопрос о суммах терминов Ландау прежде , пытаясь измерить опасность злоупотребления асимптотическими обозначениями в арифметике, но с переменным успехом.
Теперь, здесь наш рецидивы гуру JeffE делает в основном это:
Хотя конечный результат верен, я думаю, что это неправильно. Почему? Если мы добавим все подразумеваемое существование констант (только верхнюю границу), мы получим
.
Теперь, как мы вычисляем из ? Ответ, я считаю, что мы не можем: уже связан для все , но мы получаем больше в растет. Мы ничего о них не знаем; может очень хорошо зависеть от , поэтому мы не можем принять границу: конечное может не существовать.
Кроме того, есть тонкий вопрос о том, какая переменная переходит в бесконечность с левой стороны - или ? Обе? Если (для совместимости), что означает , зная, что ? Означает ли это не только ? Если это так, мы не можем связать сумму лучше, чем .
Так, где это оставляет нас? Это явная ошибка? Тонкий? Или это просто обычное злоупотребление нотации , и мы не должны смотреть на знаков , как это один из контекста? Можем ли мы сформулировать (строго) правильное правило для оценки (определенных) сумм членов Ландау?
Я думаю, что главный вопрос: кто ? Если мы посчитаем его постоянным (поскольку он находится в пределах суммы), мы можем легко построить контрпримеры. Если оно не постоянное, я понятия не имею, как его читать.
Ответы:
Выглядит правильно для меня в следующем соглашении:
Таким образом, (или с пометкой в этом ответе ), которую вы получите, на самом деле не зависят от .с к кci ck k
При такой интерпретации действительно верно, что .Sn=Θ(Hn)
Фактически, в ответе Джеффа он показывает, что где , поэтому это согласуется с приведенной выше интерпретацией.f ∈ Θ ( 1 / k )T(k+1)=f(k)+T(k) f∈Θ(1/k)
Кажется, что путаница возникает из-за того, что мы мысленно "разворачиваем" и предполагаем разные функции для каждого случая ...Θ∑ Θ
источник
Я думаю, что прибил проблему. По сути: использование терминов Ландау отделяет переменную функции summand от бегущей переменной суммы. Мы все еще (хотим) читать их как идентичные, поэтому путаница.
Чтобы развить это формально, что делает
на самом деле означает? Теперь я предполагаю, что эти позволяют - не - бесконечности; если мы позволим , то каждая такая сумма оценивается как (если слагаемые не зависят от и, следовательно, постоянны), что явно неверно. Вот первая распродажа, которую мы придаем грубым вещам: связан (и постоянен) внутри суммы, но мы все же позволим ей уйти в бесконечность?я п п → ∞ & thetas ;Θ i n n→∞ п яΘ(n) n i
Переведя (для верхней границы нижняя оценка работает аналогично), получим(1)
Теперь ясно, что сумма и параметр связаны между собой: мы можем легко определить чтобы они использовали в качестве константы. В примере из вопроса мы можем определить и иметья е я я еi i fi i ея( J )=i⋅1j∈Θ(1/j)
но исходная сумма явно не оценивается как что-то в . Теперь замена на - это только переименование - в может показаться странным, потому что не зависит от соответственно. сумма, но если мы возражаем против этого сейчас , мы никогда не должны были бы использовать внутри в первую очередь (так как он содержит ту же странность).j i Θ i nΘ(Hn)=Θ(logn) j i Θ i n i Θ
Обратите внимание, что мы даже не использовали, что также может зависеть от .fi n
В заключение, предложенная идентичность является фиктивной. Мы, конечно, можем договориться о том, как читать такие суммы, как сокращение строгого расчета. Однако такие соглашения будут несовместимы с определением терминов Ландау (вместе с обычным злоупотреблением ими), их невозможно будет правильно понять без контекста и, по крайней мере, ввести в заблуждение (для начинающих), но в конечном итоге это вопрос вкуса (и безжалостности). ?).
Мне пришло в голову, что мы можем также написать именно то , что мы имеем в виду, и все еще использовать удобные термины Ландау. Мы знаем, что все слагаемые происходят от одной общей функции, подразумевая, что асимптотические оценки используют одни и те же константы. Это теряется, когда мы помещаем в сумму. Так что давайте не будем помещать это туда и писатьΘ
вместо. Помещение за пределы суммы приводит кΘ
Таким образом, мне кажется, что это и правильный, и полезный способ записать вопрос, и поэтому его следует отдавать предпочтение перед использованием символов Ландау внутри суммы, когда мы подразумеваем их вне ее.
источник
Если каждое является константой, то существует некоторый такой, что . Так ясно Та же идея для маленьких о.c m a x ∀ c i : c i ≤ c m a x ∑ c i f ( ici cmax ∀ci:ci≤cmax
Я думаю, что проблема здесь в том, что . Это (поскольку нет такого, что ), поэтому общая сумма будет . И каждый член равен , что означает общую сумму . Таким образом, нет жестких границ от этого метода.O ( 1 / п ) & epsi ; ∀ я1/i≠Θ(1) o(1/n) ϵ п о ( 1 / п ) = O ( 1 ) O ( 1 ) О ( п )∀i:1/i>ϵ no(1/n)=o(1) O(1) O(n)
Я думаю, что ваши вопросы:
Надеюсь, кто-то еще может ответить # 2 более четко.
РЕДАКТИРОВАТЬ: глядя на ваш вопрос еще раз, я думаю, что вы спрашиваете
На что ответ да. В этом случае, однако, каждый термин не является чего-либо, поэтому такой подход разваливается.Θ
РЕДАКТИРОВАТЬ 2: Вы говорите «рассмотрите , тогда нет ». Однозначно верно. Если вы говорите, что является непостоянной функцией , то она, по определению, непостоянна.c m a x c i ici=i cmax ci i
Обратите внимание, что если вы определите это таким образом, то - это не , а . В самом деле, если вы определили «константа» для обозначения «любой функции », то любые две функции отличаются на «константу»!Θ ( i ) Θ ( i 2 ) icii Θ(i) Θ(i2) i i
Возможно, это более простой способ думать об этом: у нас есть последовательность . Какой самый маленький термин в этой последовательности? Ну, это будет зависеть от . Поэтому мы не можем считать термины постоянными.1,12,…,1n n
(Специалисты по компьютерам часто лучше знакомы с big-O, поэтому было бы более интуитивно спрашивать, имеет ли постоянный наибольший термин.)1,…,n
Чтобы предоставить доказательство: пусть будет наименьшим значением в диапазоне . Тогдаf ( i ) 1 , … , n n ∑ i f ( i ) ≥ n ∑ if(imin) f(i) 1,…,n
Аналогичное доказательство может быть сделано для верхней границы.
Наконец, вы пишете, что и в качестве доказательства приводите . Фактически это является контр-доказательством: если «больше», чем , то оно не может быть «меньше», чем , что необходимо для того, чтобы он был . Так что это не может быть .H n = Θ ( log n ) H n n log n Θ ( log n ) o ( n )Hn=o(n) Hn=Θ(logn) Hn n logn Θ(logn) o(n)
источник