Как определить квантовые машины Тьюринга?

В квантовых вычислениях, какова эквивалентная модель машины Тьюринга? Мне совершенно ясно, как квантовые схемы могут быть построены из квантовых вентилей, но как мы можем определить квантовую машину Тьюринга (QTM), которая действительно может извлечь выгоду из квантовых эффектов, а именно, работать в многомерных системах?

^{( примечание : полное описание немного сложное и имеет несколько тонкостей, которые я предпочел игнорировать. Ниже приведены лишь идеи высокого уровня для модели QTM)}

При определении квантовой машины Тьюринга (QTM) хотелось бы иметь простую модель, похожую на классическую TM (то есть конечный автомат плюс бесконечная лента), но позволяющая новой модели использовать преимущество квантовой механики.

Как и в классической модели, QTM имеет:

1. $Q=\{q_0,q_1,..\}$ - конечное множество состояний. Пусть - начальное состояние.$q_0$
2. $\Sigma=\{\sigma_0,\sigma_1,...\}$ , - набор ввода / рабочий алфавит$\Gamma=\{\gamma_0,..\}$
3. бесконечная лента и единственная "голова".

Однако при определении функции перехода следует помнить, что любое квантовое вычисление должно быть обратимым . Напомним, что конфигурацией TM является кортеж обозначающий, что TM находится в состоянии , лента содержит а заголовок указывает на ю ячейку кассета.$C=(q,T,i)$$q\in Q$$T\in \Gamma^*$$i$

Поскольку в любой момент времени лента состоит только из конечного количества непустых ячеек, мы определяем (квантовое) состояние QTM как единичный вектор в гильбертовом пространстве генерируемый конфигурационным пространством . Конкретная конфигурация представляется в виде состояния_{(примечание: поэтому каждая ячейка в ленте является мерным гильбертовым пространством.)}$\mathcal{H}$$Q\times\Sigma^*\times \mathrm{Z}$$C=(q,T,i)$

QTM инициализируется в состояние , где - это конкатенация входа с много «пробелов» по ​​мере необходимости (здесь есть тонкость, чтобы определить максимальную длину, но я ее игнорирую).$|\psi(0)\rangle = |q_0\rangle |T_0\rangle |1\rangle$$T_0\in \Gamma^*$$x\in\Sigma^*$

На каждом временном шаге состояние QTM развивается в соответствии с некоторой унитарной$U$

Обратите внимание, что состояние в любое время задается как . может быть любым унитаром, который «меняет» ленту только там, где расположена головка, и перемещает головку на один шаг вправо или влево. То есть равен нулю, если только и отличается от только в положении .$n$$|\psi(n)\rangle = U^n|\psi(0)\rangle$$U$$\langle q',T',i'|U|q,T,i\rangle$$i'= i \pm 1$$T'$$T$$i$

В конце вычислений (когда QTM достигает состояния ) лента измеряется (используя, скажем, вычислительную основу).$q_f$

Интересно отметить, что каждый «шаг» состояния QTM представляет собой суперпозицию возможных конфигураций, что дает QTM «квантовое» преимущество.

Ответ основан на Масанао Одзава, « О проблеме остановки для квантовых машин Тьюринга» . См. Также Дэвид Дойч, Квантовая теория, принцип Чёрча-Тьюринга и универсальный квантовый компьютер .

Как указано в примечаниях, способ определения QTM состоит в том, чтобы определить функцию перехода как унитарное преобразование состояния и буквы. Таким образом, на каждом шаге вы представляете, как умножить вектор (состояние, буква) на преобразование, чтобы получить новое (состояние, буква). Это не особенно удобно, но это можно определить.