Причины предположений о функции распределения по микроцентрам?

В статье « Микрофасные модели для преломления через шероховатые поверхности» (среди прочих) напоминаются следующие предположения о функции распределения в микрофасетах D:

1. Плотность микроацетона положительно оценена
2. Общая площадь микроповерхности, по крайней мере, равна площади соответствующей макроповерхности
3. (Подписанная) проецируемая площадь микроповерхности такая же, как и проецируемая площадь макроповерхности для любого направления v

Я понимаю, почему 1) плотность распределения является положительным значением, и интуитивно полагаю, что 2) означает, что общая площадь наклонных микрообъектов не может быть меньше их проекции.
Однако я не уверен, чтобы понять обоснование 3). Что означает третье условие?

$v$$v\dot\ \hat N$$\hat N$

Теперь разделите макроповерхность на микрообласти. Общая площадь микрообъектов составляет, по крайней мере, столько же (предположение 2), но каждый «излом» на поверхности отклоняет нормали отдельных микрообъектов от первоначальной нормы. Независимо от формы микрообъектов, сумма их проецируемых областей не изменяется. В случае, когда вы смотрите по нормали, легко увидеть, что общая проецируемая площадь одинакова: поверхность должна будет увеличиваться или уменьшаться для ее изменения.

В любом направлении микрообъем должен покрывать часть первоначальной проецируемой области поверхности. Изменение ориентации микрообъема при заполнении этой части не приводит к изменению площади проекции.

Есть один хитрый случай, когда микрофассы нависают друг над другом. В этом случае общая площадь больше, потому что некоторая область покрыта более чем одним микрообъемом. Но в этом случае, по крайней мере, один из микрообъектов должен в конечном итоге указывать в сторону от направления обзора обратно на поверхность. В этом случае скалярное произведение является отрицательным, поэтому это устраняет область, покрытую более чем одним микрообъемом. Поэтому текст тщательно выделить , что это подписанная площадь проекции.

Есть еще один сложный случай, когда микрообласти простираются за силуэт объекта. Это может произойти, если вы смотрите под очень скользящими углами или когда нависающие грани выступают за периметр поверхности. В этом случае проецируемая площадь микрообъектов будет больше, нарушая третье предположение. Мы вообще не рассматриваем этот случай. Интуитивно это согласуется с тем фактом, что такие методы, как рельефное отображение, не меняют форму силуэта объекта.