Характеристический полином

13

Характеристический полином квадратной матрицы А определяется как многочлен р А (х) = Det ( я х- ) , где я это единичная матрица , и опр на определитель . Обратите внимание, что это определение всегда дает нам монический многочлен такой, что решение является единственным.

Ваша задача для этой задачи состоит в том, чтобы вычислить коэффициенты характеристического полинома для целочисленной матрицы, для этого вы можете использовать встроенные модули, но это не рекомендуется.

правила

  • вход представляет собой целочисленную матрицу NxN (N ≥ 1) в любом удобном формате
  • Ваша программа / функция будет выводить / возвращать коэффициенты в возрастающем или убывающем порядке (укажите, какие)
  • коэффициенты нормированы так, что коэффициент x N равен 1 (см. контрольные примеры)
  • вам не нужно обрабатывать неверные данные

Testcases

Коэффициенты приведены в порядке убывания (то есть. X N , x N-1 , ..., x 2 , x, 1):

[0] -> [1 0]
[1] -> [1 -1]
[1 1; 0 1] -> [1 -2 1]
[80 80; 57 71] -> [1 -151 1120] 
[1 2 0; 2 -3 5; 0 1 1] -> [1 1 -14 12]
[4 2 1 3; 4 -3 9 0; -1 1 0 3; 20 -4 5 20] -> [1 -21 -83 559 -1987]
[0 5 0 12 -3 -6; 6 3 7 16 4 2; 4 0 5 1 13 -2; 12 10 12 -2 1 -6; 16 13 12 -4 7 10; 6 17 0 3 3 -1] -> [1 -12 -484 3249 -7065 -836601 -44200]
[1 0 0 1 0 0 0; 1 1 0 0 1 0 1; 1 1 0 1 1 0 0; 1 1 0 1 1 0 0; 1 1 0 1 1 1 1; 1 1 1 0 1 1 1; 0 1 0 0 0 0 1] -> [1 -6 10 -6 3 -2 0 0]
code-golf math matrix polynomials linear-algebra ბიმო
источник
Относящиеся . Относящиеся .
მოიმო
Связанные
Питер Тейлор
1
Могу ли я вывести полином?
алефальфа
1
@alephalpha: Конечно.
მოიმო
Могу ли я вывести как [ 1.00000000e+00 -1.51000000e+02 1.12000000e+03], например?
г-н Xcoder

Ответы:

11

SageMath , 3 байта

5 байтов сохранено благодаря @Mego

fcp

Попробуйте онлайн!

Принимает Matrixкак вход.

fcpобозначает ф actorization от гр haracteristic р olynomial,

который короче обычного встроенного charpoly .

Уриэль
источник
9

октава , 16 4 байта

@BruteForce только что сказал мне, что одна из функций, которые я использовал в моем предыдущем решении, на самом деле может выполнять всю работу:

poly

Попробуйте онлайн!

16 байт: это решение вычисляет собственные значения входной матрицы, а затем переходит к построению полинома из заданных корней.

@(x)poly(eig(x))

Но, конечно, есть и скучный 

charpoly

(нужен symbolic матрица типов в Octave, но работает с обычными матрицами в MATLAB.)

Попробуйте онлайн!

flawr
источник
6

R , 53 байта

function(m){for(i in eigen(m)$va)T=c(0,T)-c(T,0)*i
T}

Попробуйте онлайн!

Возвращает коэффициенты в порядке возрастания; то есть a_0, a_1, a_2, ..., a_n.

Вычисляет полином, находя собственные значения матрицы.

R + Pracma , 16 байт

pracma::charpoly

pracma является библиотекой "PRACtical MAth" для R и имеет довольно много полезных функций.

Giuseppe
источник
4

Haskell , 243 223 222 байта

s=sum
(&)=zip
z=zipWith
a#b=[[s$z(*)x y|y<-foldr(z(:))([]<$b)b]|x<-a]
f a|let c=z pure[1..]a;g(u,d)k|m<-[z(+)a b|(a,b)<-a#u&[[s[d|x==y]|y<-c]|x<-c]]=(m,-s[s[b|(n,b)<-c&a,n==m]|(a,m)<-a#m&c]`div`k)=snd<$>scanl g(0<$c<$c,1)c

Попробуйте онлайн!

Спасибо @ ÖrjanJohansen за помощь в игре в гольф!

объяснение

При этом используется алгоритм Фаддеева – ЛеВерье для расчета коэффициентов. Вот негольфированная версия с более подробными именами:

-- Transpose a matrix/list
transpose b = foldr (zipWith(:)) (replicate (length b) []) b

-- Matrix-matrix multiplication
(#) :: [[Int]] -> [[Int]] -> [[Int]]
a # b = [[sum $ zipWith (*) x y | y <- transpose b]|x<-a]


-- Faddeev-LeVerrier algorithm
faddeevLeVerrier :: [[Int]] -> [Int]
faddeevLeVerrier a = snd <$> scanl go (zero,1) [1..n]
  where n = length a
        zero = replicate n (replicate n 0)
        trace m = sum [sum [b|(n,b)<-zip [1..n] a,n==m]|(m,a)<-zip [1..n] m]
        diag d = [[sum[d|x==y]|y<-[1..n]]|x<-[1..n]]
        add as bs = [[x+y | (x,y) <- zip a b] | (b,a) <- zip as bs]
        go (u,d) k = (m, -trace (a#m) `div` k)
          where m = add (diag d) (a#u)

Примечание: я взял это прямо из этого решения

ბიმო
источник
1
Еще один байт здесь: c=z pure[1..]a.
Орджан Йохансен
Блин, это умно!
მოიმო
Благодарность! Я только что обнаружил f a|let c=z pure[0..]a;g(u,d)k|m<-[z(+)a b|(a,b)<-a#u&[[s[d|x==y]|y<-c]|x<-c]]=(m,-s[a#m!!n!!n|n<-c]`div`(k+1))=snd<$>scanl g(0<$c<$c,1)c, что нечто подобное должно работать и на другом.
Орьян Йохансен
1

CJam (48 байт)

{[1\:A_,{1$_,,.=1b\~/A@zf{\f.*1fb}1$Aff*..+}/;]}

Набор онлайн-тестов

рассечение

Это очень похоже на мой ответ на определитель целочисленной матрицы . У него есть некоторые изменения, потому что знаки разные, и потому что мы хотим сохранить все коэффициенты, а не только последний.

{[              e# Start a block which will return an array
  1\            e#   Push the leading coefficient under the input
  :A            e#   Store the input matrix in A
  _,            e#   Take the length of a copy
  {             e#     for i = 0 to n-1
                e#       Stack: ... AM_{i+1} i
    1$_,,.=1b   e#       Calculate tr(AM_{i+1})
    \~/         e#       Divide by -(i+1)
    A@          e#       Push a copy of A, bring AM_{i+1} to the top
    zf{\f.*1fb} e#       Matrix multiplication
    1$          e#       Get a copy of the coefficient
    Aff*        e#       Multiply by A
    ..+         e#       Matrix addition
  }/
  ;             e#   Pop AM_{n+1} (which incidentally is 0)
]}
Питер Тейлор
источник