Почему корреляция остатков не имеет значения при тестировании на нормальность?

Когда (то есть Y происходит из модели линейной регрессии), ε ∼ N ( 0 , σ 2 I $Y = AX + \varepsilon$$Y$ И в этом случае невязок е 1 , ... , е п коррелируют и ненезависимыми. Но когда мы делаем регрессионную диагностику и хотим проверить предположение , е ~ N ( 0 , σ 2 I ) , каждый учебник предлагает использовать Q-Q графику и статистические тесты на Разность е , которые были разработанычтобы проверитьли е ~ N ( 0 , σ 2 I ) для некоторого σ 2 ∈ R .

$$\varepsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I) \hspace{1em} \Rightarrow \hspace{1em} \hat{e} = (I - H) Y \sim \mathcal{N}(0, (I - H) \sigma^2_{})$$ $\hat{e}_1, \ldots, \hat{e}_n$$\varepsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I)$$\hat{e}$$\hat{e} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I)$$\sigma^2 \in \mathbb{R}$

Почему для этих тестов не имеет значения, что остатки коррелированы, а не независимы? Часто предлагается использовать стандартизированные но это только делает их гомоскедастичными, а не независимыми.

$$\hat{e}_i' = \frac{\hat{e}_i}{\sqrt{1 - h_{ii}}},$$

Перефразируя вопрос: остатки от регрессии МНК коррелируют. Я понимаю, что на практике эти корреляции настолько малы (в большинстве случаев «всегда»), что их можно игнорировать при проверке, получены ли остатки от нормального распределения. У меня вопрос, почему?

$H$$X$$M:=I_{n}-H$

$X\in\mathbb{R}^{n\times k}$$\hat{e}\in\mathbb{R}^{n}$

$\varepsilon$$X$$\varepsilon\perp\operatorname{span}\left(X\right)$$y=X\beta+\varepsilon=\tilde{y}+\varepsilon$$\tilde{y}\perp\varepsilon$$\tilde{y}=X\beta\in\operatorname{span}\left(X\right)$$y$$\varepsilon$

$b_{1},\ldots,b_{n}$$\mathbb{R}^{n}$$b_{1},\ldots,b_{k}$$\operatorname{span}\left(X\right)$$b_{k+1},\ldots,b_{n}$$\operatorname{span}\left(X\right)^{\perp}$$\varepsilon=\alpha_{1}b_{1}+\ldots+\alpha_{n}b_{n}$$\alpha_{i}$$i\in\left\{1,\ldots,k\right\}$$X\beta$$\operatorname{span}\left(X\right)$

$\varepsilon$$\hat{e}$$n$$\hat{e}\in\mathbb{R}^{n}\mapsto e^{*}\in\mathbb{R}^{n-k}$

$$\begin{equation} e^{*}\sim\mathcal{N}_{n-k}\left(0,\sigma^{2}I_{n-k}\right) \textrm{,} \end{equation}$$ $e^{*}$$e^{*}$

В короткой статье «Проверка регрессионных возмущений на нормальность» вы найдете сравнение остатков OLS и BLUS. В тестируемой установке Монте-Карло остатки OLS превосходят остатки BLUS. Но это должно дать вам некоторую отправную точку.