Как отбелить данные с помощью анализа основных компонентов?

Я хочу преобразовать свои данные так, чтобы отклонения были равны единице, а ковариации были равны нулю (т.е. я хочу отбелить данные). Кроме того, средства должны быть нулевыми.$\mathbf X$

Я знаю, что доберусь туда, выполнив Z-стандартизацию и PCA-преобразование, но в каком порядке я должен их делать?

Следует добавить, что составное отбеливающее преобразование должно иметь вид $\mathbf{x} \mapsto W\mathbf{x} + \mathbf{b}$ .

Есть ли метод, похожий на PCA, который выполняет именно эти преобразования и дает мне формулу в форме выше?

Во-первых, вы получаете среднее значение ноль, вычитая среднее значение .$\boldsymbol \mu = \frac{1}{N}\sum \mathbf{x}$

Во-вторых, вы получаете нулевые ковариации, выполняя PCA. Если является ковариационной матрицей ваших данных, то PCA сводится к выполнению собственного разложения Σ = U Λ U ⊤ , где U - матрица ортогонального вращения, состоящая из собственных векторов Σ , а Λ - диагональная матрица с собственными значениями на диагонали. Матрица U ⊤ дает поворот, необходимый для декорреляции данных (т. Е. Сопоставляет исходные элементы с основными компонентами).$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Sigma = \mathbf{U} \boldsymbol \Lambda \mathbf{U}^\top$$\mathbf{U}$$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Lambda$$\mathbf{U}^\top$

В-третьих, после поворота каждый компонент будет иметь дисперсию, заданную соответствующим собственным значением. Таким образом, чтобы сделать дисперсию равной , вам нужно разделить на квадратный корень из Λ .$1$$\boldsymbol \Lambda$

Все вместе, отбеливающий преобразование . Вы можете открыть скобки, чтобы получить форму, которую вы ищете.$\mathbf{x} \mapsto \boldsymbol \Lambda^{-1/2} \mathbf{U}^\top (\mathbf{x} - \boldsymbol \mu)$

Обновить. См. Также эту более позднюю ветку для более подробной информации: В чем разница между отбеливанием ZCA и отбеливанием PCA?