Имеет ли дифференциальная геометрия какое-либо отношение к статистике?

Я делаю мастер в области статистики, и мне советуют изучать дифференциальную геометрию. Я был бы счастлив услышать о статистических приложениях для дифференциальной геометрии, потому что это мотивировало бы меня. Кто-нибудь знает приложения для дифференциальной геометрии в статистике?

Две канонические книги на эту тему с рецензиями и двумя другими ссылками:

• Дифференциальная геометрия и статистика , М. К. Мюррей, Дж. В. Райс

  Со времени введения Рао в 1945 году информационной метрики Фишера о семействе распределений вероятностей у статистиков появился интерес к применению дифференциальной геометрии к статистике. Этот интерес быстро возрос за последние пару десятилетий благодаря работе большого числа исследователей. До сих пор препятствием для распространения этих идей в более широком сообществе статистиков является отсутствие подходящего текста, в котором представлен современный, свободный от координат подход к дифференциальной геометрии, доступный для статистиков. Эта книга призвана восполнить этот пробел. Авторы привносят в книгу обширный исследовательский опыт в области дифференциальной геометрии и ее применения в статистике. Книга начинается с изучения простейших дифференциальных многообразий - аффинных пространств и их значимости для экспоненциальных семейств и переходит к общей теории, информационной метрике Фишера, связности Амари и асимптотике. Кульминацией этого является теория векторных расслоений, основных расслоений и струй и их применение в теории струн - тема, которая в настоящее время находится на переднем крае исследований в области статистики и дифференциальной геометрии.

• Методы информационной геометрии , С.-И. Амари, Х. Нагаока

  Информационная геометрия предоставляет математическим наукам новую структуру анализа. Он возник из исследования естественной дифференциальной геометрической структуры на многообразиях распределений вероятностей, которая состоит из римановой метрики, определяемой информацией Фишера, и однопараметрического семейства аффинных связей, называемых связями. Двойственность между α- соединением и $\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$-соединение вместе с метрикой играют существенную роль в этой геометрии. Этот вид двойственности, возникший из многообразий распределений вероятностей, является вездесущим, возникающим в различных проблемах, которые могут не иметь явного отношения к теории вероятностей. Через двойственность можно анализировать различные фундаментальные проблемы в единой перспективе. Первая половина этой книги посвящена всеобъемлющему введению в математические основы геометрии информации, включая предварительные сведения из дифференциальной геометрии, геометрию многообразий или вероятностных распределений, а также общую теорию двойственных аффинных связей. Вторая половина текста содержит обзор многих областей применения, таких как статистика, линейные системы, теория информации, квантовая механика, выпуклый анализ, нейронные сети, и аффинная дифференциальная геометрия. Книга может служить подходящим текстом для курса для студентов старших курсов и аспирантов.

• Дифференциальная геометрия в статистическом выводе , С.-И. Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen и CR Rao, IMS Конспект лекций Monogr. Многосерийный телефильм Том 10, 1987, 240 с.

• Роль дифференциальной геометрии в статистической теории , О. Е. Барндорф-Нильсен, Д. Р. Кокс и Н. Рейд, Международный статистический обзор / Revue Internationale de Statistique, Vol. 54, № 1 (апрель, 1986), стр. 83-96

Риманова геометрия используется при изучении случайных полей (обобщение случайных процессов), где процесс не должен быть стационарным. Ссылка, которую я изучаю, приведена ниже с двумя отзывами. Есть приложения в океанографии, астрофизике и визуализации мозга.

Случайные поля и геометрия , Адлер Р., Тейлор, Джонатан Э.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

Отзывы:

$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$являются римановыми стратифицированными многообразиями, и их подход имеет геометрическую природу. Книга разделена на три части. Часть I посвящена представлению необходимых инструментов гауссовских процессов и полей. Часть II кратко раскрывает необходимые предпосылки интегральной и дифференциальной геометрии. Наконец, в части III точно установлено ядро ​​книги - формула ожидания характеристической функции Эйлера для набора экскурсий и ее приближения к распределению максимумов поля. Книга написана в неформальном стиле, что дает очень приятное чтение. Каждая глава начинается с представления вопросов, подлежащих рассмотрению, а сноски, расположенные по всему тексту, служат незаменимым дополнением и много раз историческими ссылками.

«В этой книге представлена ​​современная теория вероятностей экскурсий и геометрия экскурсионных множеств для ... случайных полей, определенных на многообразиях. ... Книга понятна студентам ... с хорошим фоном в анализе. ... Междисциплинарный характер этой книги красота и глубина представленной математической теории делают ее неотъемлемой частью каждой математической библиотеки и книжной полкой всех вероятностных исследователей, интересующихся гауссовскими процессами, случайными полями и их статистическими приложениями ». (Илья С. Молчанов, Zentralblatt MATH, Vol. 1149, 2008)

Одной из областей статистики / прикладной математики, где дифференциальная геометрия используется существенным образом (вместе со многими другими областями математики!), Является теория паттернов . Вы можете взглянуть на книгу Ульфа Гренандера: https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 или на несколько более доступный текст: Дэвид Мамфорд (не менее обладатель медали на полях): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Matmatics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_i=1568d15_p_p_P_R_W_R_R_R_R_R_R_D_W_D_W_R_R_R_D_D_D_W_D_W_D_W_R_PD_H_) = LIesY & PSC = 1 & refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

Из предисловия к последнему тексту:

Термин «теория паттернов» был придуман Ульфом Гренандером для того, чтобы отличить его подход к анализу структурированных структур в мире от «распознавания паттернов». В этой книге мы используем его в довольно широком смысле, чтобы включить статистические методы, используемые при анализе все «сигналы», генерируемые миром, будь то изображения, звуки, письменный текст, цепочки ДНК или белка, пики в нейронах или временные ряды цен или погоды; примеры из всего этого можно найти либо в книге Гренандера «Элементы теории паттернов» [94], либо в работе наших коллег, сотрудников и студентов по теории паттернов.

Один пример, где используется дифференциальная геометрия, это модели лица.

Пытаясь ответить на вопрос (в комментариях) @whuber, посмотрите на главу 16 книги Гренандера с заголовком «Вычислительная анатомия». Там многообразия используются для представления различных частей анатомии человека (например, очага), а диффеоморфизмы используются для представления изменений этих анатомических многообразий, что позволяет сравнивать, моделировать рост, моделировать действие некоторых болезней. Эта идея восходит к монументальному трактату Д'Арси Томпсона «О росте и форме» 1917 года!

Гренандер продолжает ссылаться на этот трактат:

В очень большой части морфологии наша основная задача заключается в сравнении связанных форм, а не в точном определении каждой из них; и деформация сложной фигуры может быть явлением, легким для понимания, хотя саму фигуру, возможно, придется оставить неанализированной и неопределенной. Этот процесс сравнения, распознавания в одной форме определенной перестановки или деформации другой, в дополнение к точному и адекватному пониманию исходного «типа» или стандарта сравнения, лежит в непосредственной области математики и находит свое решение в Элементарное использование определенного метода математика. Этот метод является Методом координат, на котором основана Теория Преобразований.

Самый известный пример этой идеи - когда какой-то ребенок исчез, скажем, три года назад, и кто-то публикует фотографию его лица, преобразованную (обычно с помощью сплайнов) в то, на что он может выглядеть сегодня.