Почему нулевая гипотеза всегда является точечной величиной, а не диапазоном при проверке гипотез?

Это связано с другим вопросом, который я задал. Вопрос, который у меня возникает, заключается в том, что при проверке гипотезы, когда альтернативная гипотеза является диапазоном, нулевая гипотеза все еще является точечной величиной.
Например, при проверке, является ли коэффициент корреляции больше 0,5, нулевая гипотеза является «корреляция = 0,5» вместо «корреляция <= 0,5». Почему это так? (или я ошибся?)

Во-первых, это не всегда так. Там может быть составной ноль .

Большинство стандартных тестов имеют простой нуль, потому что в рамках Neyman и Pearson цель состоит в том, чтобы предоставить правило принятия решения, которое позволяет вам контролировать ошибку отклонения ноля, когда оно истинно. Чтобы контролировать эту ошибку, вам нужно указать одно распределение для нуля.

Когда у вас сложная гипотеза, есть много возможностей. В этом случае существует два естественных типа стратегий: байесовская (то есть наложение веса на различное нулевое распределение) или минимаксная (где вы хотите построить тест с контролируемой ошибкой в ​​худшем случае.

В байесовской обстановке, используя апостериор, вы быстро возвращаетесь к случаю простого нуля. В минимаксной настройке, если null - это что-то вроде corre 0.5, возможно, проблема эквивалентна использованию простого null corre = 0.5. Следовательно, чтобы избежать разговоров о минимаксах, люди напрямую принимают простой ноль, который является «крайним пунктом» составного параметра. В общем случае часто можно преобразовать составной минимаксный нуль в простой нуль ... поэтому, насколько я знаю, строгое рассмотрение случая составного ноля в основном делается путем возврата к какому-либо простому нулю.$\leq$

Я не думаю, что нулевая гипотеза всегда должна быть чем-то вроде корреляции = 0,5. По крайней мере, в проблемах, с которыми я столкнулся, это было не так. Например, в информационно-теоретической статистике рассматривается следующая проблема. Предположим , что приходят из неизвестного распределения . В простейшем случае мы хотим проверить между двумя распределениями и . Таким образом, гипотезы и .$X_1, X_2, \cdots, X_n$$Q$$P_1$$P_2$$H_1:Q=P_1$$H_2:Q=P_2$