Предполагает ли корреляция стационарность данных?

Межрыночный анализ - это метод моделирования поведения рынка путем нахождения отношений между различными рынками. Часто рассчитывается корреляция между двумя рынками, например, S & P 500 и 30-летними казначейскими обязательствами США. Эти вычисления чаще всего основаны на ценовых данных, что очевидно для всех, что они не соответствуют определению стационарных временных рядов.

Помимо возможных решений (с использованием возвратов), является ли вычисление корреляции, данные которого нестационарны, даже достоверным статистическим вычислением?

Вы сказали бы, что такой расчет корреляции является несколько ненадежным, или просто бессмыслицей?

Корреляция измеряет линейные отношения. В неформальном контексте отношения означают что-то стабильное. Когда мы вычисляем выборочную корреляцию для стационарных переменных и увеличиваем количество доступных точек данных, эта выборочная корреляция стремится к истинной корреляции.

Можно показать, что для цен, которые обычно являются случайными блужданиями, выборочная корреляция стремится к случайной переменной. Это означает, что независимо от того, сколько у нас данных, результат всегда будет разным.

Заметьте, я пытался выразить математическую интуицию без математики. С математической точки зрения объяснение очень ясное: выборочные моменты стационарных процессов сходятся по вероятности к постоянным. Выборочные моменты случайных блужданий сходятся к интегралам броуновского движения, которые являются случайными величинами. Поскольку связь обычно выражается в виде числа, а не случайной величины, причина не расчета корреляции для нестационарных переменных становится очевидной.

Обновление Поскольку нас интересует корреляция между двумя переменными, предположим сначала, что они происходят от стационарного процесса . Стационарность означает, что E Z t и c o v ( Z t , Z t - h ) не зависят от t . Итак, соотношение$Z_t=(X_t,Y_t)$$EZ_t$$cov(Z_t,Z_{t-h})$$t$

$$corr(X_t,Y_t)=\frac{cov(X_t,Y_t)}{\sqrt{DX_tDY_t}}$$

$t$$cov(Z_t)$$t$

$$\hat{\rho}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T(X_t-\bar{X})(Y_t-\bar{Y})}{\sqrt{\frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^T(X_t-\bar{X})^2\sum_{t=1}^T(Y_t-\bar{Y})^2}}$$ $\rho=corr(X_t,Y_t)$$\hat{\rho}\to\rho$$T\to\infty$$\sqrt{T}(\hat{\rho}-\rho)\to N(0,\sigma_{\rho}^2)$$\rho$

$Z_t$$corr(X_t,Y_t)$$t$$T$$T$$\rho_t$$\rho_t$

$Z_t=(X_t,Y_t)$$Z_t=\sum_{s=1}^t(U_t,V_t)$$C_t=(U_t,V_t)$$EC_t=0$

$$\begin{align} corr(X_tY_t)=\frac{EX_tY_t}{\sqrt{DX_tDY_t}}=\frac{E\sum_{s=1}^tU_t\sum_{s=1}^tV_t}{\sqrt{D\sum_{s=1}^tU_tD\sum_{s=1}^tV_t}} \end{align}$$

$C_t=(U_t,V_t)$$E(C_tC_{t+h})$$h>0$$corr(U_t,V_t)$

$$\begin{align} corr(X_t,Y_t)=\frac{tEU_tV_t}{\sqrt{t^2DU_tDV_t}}=corr(U_0,V_0). \end{align}$$

Пока все хорошо, хотя процесс не является стационарным, корреляция имеет смысл, хотя мы должны были сделать те же ограничительные предположения.

Теперь, чтобы увидеть, что происходит с выборочной корреляцией, нам нужно использовать следующий факт о случайных блужданиях, называемый функциональной центральной предельной теоремой:

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{T}}Z_{[Ts]}=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{[Ts]}C_t\to (cov(C_0))^{-1/2}W_s, \end{align}$$ $s\in[0,1]$$W_s=(W_{1s},W_{2s})$$M_s=(M_{1s},M_{2s})=(cov(C_0))^{-1/2}W_s$

Опять же для простоты определим выборочную корреляцию как

$$\begin{align} \hat{\rho}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_{t}Y_t}{\sqrt{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_t^2\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TY_t^2}} \end{align}$$

Давайте начнем с отклонений. У нас есть

$$\begin{align} E\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_t^2=\frac{1}{T}E\sum_{t=1}^T\left(\sum_{s=1}^tU_t\right)^2=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^Tt\sigma_U^2=\sigma_U\frac{T+1}{2}. \end{align}$$

$T$

$$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TX_t^2=\sum_{t=1}^T\frac{1}{T}\left(\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{s=1}^tU_t\right)^2\to \int_0^1M_{1s}^2ds \end{align}$$ $T\to \infty$

Точно так же мы получаем

$$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TY_t^2\to \int_0^1M_{2s}^2ds \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TX_tY_t\to \int_0^1M_{1s}M_{2s}ds \end{align}$$

Итак, наконец, для выборочной корреляции нашего случайного блуждания мы получаем

$$\begin{align} \hat{\rho}\to \frac{\int_0^1M_{1s}M_{2s}ds}{\sqrt{\int_0^1M_{1s}^2ds\int_0^1M_{2s}^2ds}} \end{align}$$ $T\to \infty$

Таким образом, хотя корреляция хорошо определена, выборочная корреляция не сходится к ней, как в случае стационарного процесса. Вместо этого он сходится к определенной случайной переменной.

... является ли вычисление корреляции, данные которого нестационарны, даже достоверным статистическим расчетом?

$W$$h$$P$$V$$P(0) = 1$$P(t+1) = -P(t)$$V(t) > h$$P(t+1) = P(t)$$V(t) = P(t)W(t)$$V$$W$$V$$h$$W$

$h=5$$W$$V$

$V$$W$$V$$W$

Код Mathematica для создания фигуры:

With[{h=5},
pv[{p_, v_}, w_] := With[{q=If[v > h, -p, p]}, {q, q w}];
w = Accumulate[RandomInteger[{-1,1}, 25 h^2]];
{p,v} = FoldList[pv, {1,0}, w] // Transpose;
ListPlot[{w,v}, Joined->True]]