Меняет ли понижающая выборка коэффициенты логистической регрессии?

Если у меня есть набор данных с очень редким положительным классом, и я понижаю выборку отрицательного класса, а затем выполняю логистическую регрессию, нужно ли мне корректировать коэффициенты регрессии, чтобы отразить тот факт, что я изменил распространенность положительного класса?

Например, допустим, у меня есть набор данных с 4 переменными: Y, A, B и C. Y, A и B являются двоичными, C - непрерывными. Для 11 100 наблюдений Y = 0, а для 900 Y = 1:

set.seed(42)
n <- 12000
r <- 1/12
A <- sample(0:1, n, replace=TRUE)
B <- sample(0:1, n, replace=TRUE)
C <- rnorm(n)
Y <- ifelse(10 * A + 0.5 * B + 5 * C + rnorm(n)/10 > -5, 0, 1)

Я соответствую логистической регрессии, чтобы предсказать Y, учитывая A, B и C.

dat1 <- data.frame(Y, A, B, C)
mod1 <- glm(Y~., dat1, family=binomial)

Однако, чтобы сэкономить время, я мог бы удалить 10 200 не-Y наблюдений, давая 900 Y = 0 и 900 Y = 1:

require('caret')
dat2 <- downSample(data.frame(A, B, C), factor(Y), list=FALSE)
mod2 <- glm(Class~., dat2, family=binomial)

Коэффициенты регрессии из двух моделей выглядят очень похоже:

> coef(summary(mod1))
              Estimate Std. Error   z value     Pr(>|z|)
(Intercept) -127.67782  20.619858 -6.191983 5.941186e-10
A           -257.20668  41.650386 -6.175373 6.600728e-10
B            -13.20966   2.231606 -5.919353 3.232109e-09
C           -127.73597  20.630541 -6.191596 5.955818e-10
> coef(summary(mod2))
              Estimate  Std. Error     z value    Pr(>|z|)
(Intercept) -167.90178   59.126511 -2.83970391 0.004515542
A           -246.59975 4059.733845 -0.06074284 0.951564016
B            -16.93093    5.861286 -2.88860377 0.003869563
C           -170.18735   59.516021 -2.85952165 0.004242805

Что приводит меня к мысли, что понижающая выборка не повлияла на коэффициенты. Тем не менее, это единственный надуманный пример, и я предпочел бы знать наверняка.

Снижение выборки эквивалентно планам «случай-контроль» в медицинской статистике - вы фиксируете количество ответов и соблюдаете ковариатические модели (предикторы). Возможно, ключевым справочным материалом является Prentice & Pyke (1979), «Модели заболеваемости логистическими заболеваниями и исследования« случай-контроль », Biometrika , 66 , 3.

Они использовали теорему Байеса, чтобы переписать каждый член в вероятности для вероятности данного ковариатного шаблона, обусловленного тем, что он является случаем или контролем как два фактора; один представляет обычную логистическую регрессию (вероятность быть регистром или условным условием на ковариатном шаблоне), а другой представляет предельную вероятность ковариатного шаблона. Они показали, что максимизация общей вероятности с учетом ограничения на то, что предельные вероятности того, что дело или контроль фиксируются схемой выборки, дает те же оценки отношения шансов, что и максимизация первого фактора без ограничения (т. Е. Выполнение обычной логистической регрессии) ,

$\beta_0^*$$\hat{\beta}_0$$\pi$

$n_0$$n_1$

Конечно, отбрасывая данные, которые вам пришлось собрать, хотя и наименее полезные, вы снижаете точность своих оценок. Ограничения на вычислительные ресурсы - единственная веская причина, которую я знаю для этого, но я упоминаю об этом, потому что некоторые люди думают, что «сбалансированный набор данных» важен по какой-то другой причине, которую я так и не смог установить.