Нулевая гипотеза эквивалентности

Предположим, $X_1, X_2, \, ... \, , X_n$ - простая случайная выборка из нормального$(\mu,\sigma^2)$ распределения.

Я заинтересован в проведении следующей проверки гипотезы:

$$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$$ для данной константы$c > 0$ .

Я думал о проведении двух односторонних $t$ тестов (TOST) аналогично обычной ситуации тестирования биоэквивалентности, где нулем и является $|\mu| \ge c$ вместо этого, но я не знаю, имеет ли это смысл или правильно.

Моя идея состоит в том, чтобы выполнить односторонние тесты

$$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$$ и и отвергают глобальную нулевую гипотезуесли один из р -значения меньшечем уровень значимости альфа . $$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$$ $p$$\alpha$

Заранее спасибо!

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Я немного подумал об этом, и я думаю, что предложенный мной подход не имеет уровня значимости .$\alpha$

Предположим, что истинное значение равно μ 0 и σ 2 известно.$\mu$$\mu_0$$\sigma^2$

Вероятность отклонения нуля в первом тесте составляет гдеΦ,если стандартное cdf нормального распределения, иz1-α- это значение, такое чтоΦ(z1-α)=1-α.

$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$$ $\Phi$$z_{1-\alpha}$$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

Если , P μ 0 ( R e j . H 01 ) = α . Тогда, если μ 0 > c , P μ 0 ( R e j . H 01 ) > α . Альтернативно, если μ 0 < c , P μ 0 ( R e j . H 01 ) < α .$\mu_0 = c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$$\mu_0 > c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$$\mu_0 < c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

Вероятность отклонения нуля во втором тесте составляет

$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$$

Опять же, если мы имеем P μ 0 ( R e j . H 02 ) = α . Аналогично, если μ 0 > - c , P μ 0 ( R e j . H 02 ) < α . Наконец, если μ 0 < - c , P μ 0 ( R e j . H $\mu_0 = -c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$$\mu_0 > -c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$$\mu_0 < -c$ .$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

Поскольку области отклонения двух тестов не пересекаются, вероятность отклонения составляет: P μ 0 ( R e j . H 0 ) = 1 - Φ ( z 1 - α + c - μ $H_0$

$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$$

Таким образом, если , 2 α является верхней границей вероятности отклонения (глобальной) нулевой гипотезы. Поэтому предложенный мною подход был слишком либеральным.$\mu \in [-c,c]$$2\alpha$

Если я не ошибаюсь, мы можем достичь уровня значимости , выполнив те же два теста и отклонив нулевое значение, если p- значение одного из них меньше, чем α / 2 . Аналогичный аргумент имеет место, когда дисперсия неизвестна, и нам нужно применить t- критерий.$\alpha$$p$$\alpha/2$$t$

Очень интересный вопрос !!

Вы используете логическое следствие, то есть условие выполнения. Это условие вхождения является основой классической логики, оно гарантирует вывод или выведение результата из предпосылки.

Аргументация вашего предложения следующая:

$H_0$$H_0'$$H_0$$H_0'$

С точки зрения ваших вспомогательных гипотез и H 02 , мы имеем H 0 ≡ H 01 ∧ H 02 , то есть H 0 влечет за собой$H_{01}$$H_{02}$$H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$$H_{0}$$H_{01}$$H_{0}$$H_{02}$$H_{0}$$H_{01}$$H_{02}$$H_{01}$$H_{02}$$H_0$

Однако это логическое обоснование недопустимо для p-значений, т. Е. P-значения не учитывают логические последствия. Каждое значение p строится по определенной нулевой гипотезе, поэтому значения p для разных нулевых гипотез вычисляются по разным метрикам. По этой причине p-значения не могут учитывать логическое обоснование пространства параметров (или пространства нулевых гипотез).

$n=1$$\sigma^2 = 1$

Патриота (2013) предлагает новую меру доказательств для проверки общих нулевых гипотез (составных или простых нулевых гипотез), которая учитывает логические последствия. Эта мера называется s-значением в статье. Процедура относительно проста для вашего примера:

1. $\alpha$$\mu$$I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$$\bar{x}$$s^2$$z_{{\alpha}/{2}}$${\alpha}/{2}$$n$

2. Найти значение для которого амплитуда$\alpha^*$$I(\mu, \alpha^*)$$\{-c, c\}$$[-c,c]$$\alpha^*$$s$

3. $\bar{x} \in [-c,c]$$H_0: |\mu|\leq c$$s$$\bar{x} \not \in [-c,c]$$H_0$$s$-значение достаточно мало, тогда вы можете отклонить ноль. В противном случае вы не должны отклонять или принимать ноль.

$\bar{x}\in [-c,c]$$s$$\bar{x}$$\bar{x}\not \in [-c,c]$$s$$\bar{x}$, Попробуйте нарисовать картину, представляющую доверительный интервал и нулевую интересную гипотезу, чтобы лучше понять выводы. Для получения дополнительной информации, пожалуйста, прочитайте оригинальную статью Patriota (2013).

Как найти объективные пороги для принятия или отклонения нулевого значения с помощью этого значения все еще остается открытой проблемой. Этот подход хорош, потому что теперь мы можем принять нулевую гипотезу. Это имеет смысл всякий раз, когда наблюдаемый образец подтверждается нулем, и это далеко от альтернативы. В вашем примере это видно при с = $s$$c = 1000$$\bar{x} = 1$$s^2 = 1$$n=10000$$[0.9, \ 1.1]$$[-1000, \ 1000]$$H_0: |\mu| \leq c$

Рекомендации:

Патриота, АГ (2013). Классическая мера доказательств для общих нулевых гипотез, Нечеткие множества и системы, 233, 74–88

Schervish, MJ (1996). Значения P: Что они есть и чем они не являются, Американский статистик, 50, 203–206.