Являются ли t-тест и односторонний ANOVA тестом Вальда?

Считается, что t-тест для проверки того, равняется ли среднее значение нормально распределенной выборки константе, является тестом Вальда путем оценки стандартного отклонения среднего значения выборки с помощью информации Фишера о нормальном распределении по среднему значению выборки. Но тестовая статистика в t-тесте имеет t-распределение Стьюдента, а тестовая статистика в тесте Вальда асимптотически имеет распределение хи-квадрат. Интересно, как это объяснить?

В одностороннем ANOVA тестовая статистика определяется как соотношение между дисперсией между классами и дисперсией внутри класса. Мне было интересно, если это тоже тест Вальда? Но тестовая статистика в одностороннем ANOVA имеет F-распределение, а тестовая статистика в тесте Вальда асимптотически имеет распределение хи-квадрат. Интересно, как это объяснить?

Спасибо и всего наилучшего!

$p$$\theta$$\hat{\theta}$$\theta$$I(\theta)$

$$(\hat{\theta} - \theta)^T I(\hat{\theta}) (\hat{\theta} - \theta)$$

$I(\hat{\theta})$$\chi^2$$p$$\theta$$H_0 : \theta = \theta_0$

$\Sigma(\theta) = I(\theta)^{-1}$$H_0 : \theta_1 = \theta_{0,1}$

$$\frac{(\hat{\theta}_1 - \theta_{0,1})^2}{\Sigma(\hat{\theta})_{ii}}.$$ $\chi^2$

$\theta = (\mu, \sigma^2)$$\mu = \mu_0$

$$\frac{n(\hat{\mu} - \mu_0)^2}{\hat{\sigma}^2}$$ $n$$\hat{\sigma}^2$$\sigma^2$$n$$t$ $$\frac{\sqrt{n}(\hat{\mu} - \mu_0)}{s}$$ $s^2$$n-1$$t$$n \to \infty$$t$$F(1, n-1)$$\chi^2$$n \to \infty$

$F$

@NRH дал хороший теоретический ответ, вот тот, который намеревается быть более простым, более интуитивным.

$n$$n-1$внутри квадратного корня). Мы могли бы даже разработать тест в стиле Вальда, основанный на предполагаемой медиане минус гипотетическая медиана, деленная на функцию IQR, но я не знаю, за каким распределением он будет следовать, было бы лучше использовать бутстрап, перестановку или моделирование распределение для этого теста, а не в зависимости от асимптотики хи-квадрат. F-критерий для ANOVA также соответствует общей схеме, числитель можно рассматривать как измерение разности средних значений от общего среднего, а знаменатель является мерой отклонения.

Также обратите внимание, что если вы возводите в квадрат случайную переменную, которая следует за распределением, то оно будет следовать за распределением F с 1 df для числителя, а знаменатель df будет таким из распределения t. Также отметим, что F-распределение с бесконечным знаменателем df является распределением хи-квадрат. Таким образом, это означает, что и t-статистика (квадрат), и F-статистика асимптотически хи-квадрат, как и статистика Вальда. Мы просто используем более точное распределение на практике.