Какова гипотеза NULL для взаимодействия в двухстороннем ANOVA?

Допустим, у нас есть два фактора (A и B), каждый из которых имеет два уровня (A1, A2 и B1, B2) и переменную отклика (y).

При выполнении двухстороннего ANOVA типа:

y~A+B+A*B

Мы проверяем три нулевые гипотезы:

1. Нет разницы в средствах фактора А
2. Там нет разницы в средствах фактора B
3. Нет взаимодействия между факторами А и В

Когда записано, первые две гипотезы легко сформулировать (для 1 это )$H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$

Но как сформулировать гипотезу 3?

редактировать : и как это будет сформулировано для случая более двух уровней?

Благодарю.

Я думаю, что важно четко разделить гипотезу и соответствующий ей тест. Для следующего я предполагаю сбалансированную схему CRF- между субъектами (равные размеры ячеек, запись Кирка: полностью рандомизированный факториальный дизайн).$pq$

i j A k B 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ p 1 ≤ k ≤ q Y i j k = μ j k + ϵ i ( j k )$Y_{ijk}$ - это наблюдение при обработке фактора и при обработке фактора с , и . Модель$i$$j$$A$$k$$B$$1 \leq i \leq n$$1 \leq j \leq p$$1 \leq k \leq q$$Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

Дизайн: $\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

j k ϵ i ( j k ) i ( ) j k $\mu_{jk}$ - ожидаемое значение в ячейке , - ошибка, связанная с измерением человека в этой ячейке. Запись указывает, что индексы являются фиксированными для любого данного человека потому что этот человек наблюдается только в одном состоянии. Несколько определений для эффектов:$jk$$\epsilon_{i(jk)}$$i$$()$$jk$$i$

j$\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$ (среднее ожидаемое значение для обработки фактора )$j$$A$

k$\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$ (среднее ожидаемое значение для обработки фактора )$k$$B$

j A ∑ p j = 1 α j = $\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$ (эффект обработки фактора , )$j$$A$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$

k B ∑ q k = 1 β k = $\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$ (эффект обработки фактора , )$k$$B$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$

j A k B ∑ p j = 1 ( α β ) j k = $(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
(эффект взаимодействия для комбинации обработки фактора с обработкой фактора ,$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

j A k B ∑ p j = 1 α ( k ) j = $\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
(условный основной эффект для обработки фактора рамках фиксированной обработки фактора ,$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

k B j A ∑ q k = 1 β ( j ) k = $\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
(условный основной эффект для обработки фактора рамках фиксированной обработки фактора ,$k$$B$$j$$A$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

С этими определениями модель также может быть записана как: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

Это позволяет нам выразить нулевую гипотезу отсутствия взаимодействия несколькими эквивалентными способами:

1. 0 μ j k = μ + α j + β $H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
   (все отдельные члены взаимодействия равны , так что . Это означает, что эффекты лечения обоих факторов - как определено выше - везде аддитивны.)$0$$\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$

2. $H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
   (all conditional main effects for any treatment $j$ of factor $A$ are the same, and therefore equal $\alpha_{j}$. This is essentially Dason's answer.)

3. $H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
   (all conditional main effects for any treatment $k$ of factor $B$ are the same, and therefore equal $\beta_{k}$.)

4. $H_{0_{I}}$ : в диаграмме, которая показывает ожидаемые значения с уровнями фактора на оси и уровнями фактора нарисованными в виде отдельных линий, различных линий параллельны.$\mu_{jk}$$A$$x$$B$$q$

Взаимодействие говорит нам, что уровни фактора А оказывают различное влияние в зависимости от того, какой уровень фактора Б вы применяете. Таким образом, мы можем проверить это с помощью линейного контраста. Пусть C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2), где A1B1 обозначает среднее значение для группы, получившей A1 и B1, и так далее. Итак, здесь мы смотрим на A1B1 - A1B2, который является эффектом, который оказывает фактор B, когда мы применяем A1. Если нет взаимодействия, это должно быть то же самое, что эффект, который имеет B, когда мы применяем A2: A2B1 - A2B2. Если они одинаковы, то их разница должна быть 0, чтобы мы могли использовать тесты:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$