Всегда ли степени свободы для теста Уэлча меньше, чем DF объединенного теста?

Я преподаю курс по основам статистики, и мы проводим t-тест для двух независимых выборок с неравными отклонениями (тест Уэлча). В примерах, которые я видел, скорректированные степени свободы, используемые в тесте Уэлча, всегда меньше или равны . $n_1+n_2-2$

Это всегда так? Всегда ли критерий Уэлча уменьшает (или оставляет неизменным) степени свободы t-критерия в виде пула (равных отклонений)?

И по той же теме, если стандартные отклонения образца равны, уменьшаются ли DF теста Уэлча до ? Я посмотрел на формулу, но алгебра стала грязной.$n_1+n_2-2$

Да.

В тесте Уэлча для степеней свободы используется поправка Саттертэйта-Уэлча : Как видите, это довольно некрасиво (и фактически аппроксимируется численно), но для этого необходимо, чтобы . Вот ссылка: Хауэлл (2002, стр. 214) утверждает, что « ограничен меньшим из и в одном крайнем случае и в другом».
df′<dfdf′n1-1n2-1n1+n2-2d

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$

Вот «официальные» ссылки (обратите внимание, что приведенная выше корректировка - обычно используемая - выводится во втором документе):

• Welch, BL (1938). «Значимость различий между двумя средствами означает, что различия в населении неравны». Биометрика, 29, 3/4 , с. 350–62 .
• Satterthwaite, FE (1946). «Приблизительное распределение оценок компонент дисперсии». Биометрический вестник, 2, 6 , с. 110–114 .
• Уэлч, БЛ (1947). «Обобщение« студенческой »проблемы, когда задействовано несколько различных популяционных различий». Биометрика, 34, 1/2 , с. 28–35 .

(Поиск в Google может привести к появлению версий без них.)