Доказательство близости функций ядра по точечному произведению

13

Как я могу доказать, что точечное произведение двух функций ядра является функцией ядра?

Gigili
источник

Ответы:

18

Под точечным произведением я предполагаю, что вы имеете в виду, что если являются допустимыми функциями ядра, то их произведениеk1(x,y),k2(x,y)

kp(x,y)=k1(x,y)k2(x,y)

также является допустимой функцией ядра.

Доказательство этого свойства довольно просто, когда мы вызываем теорему Мерсера. Поскольку являются допустимыми ядрами, мы знаем (через Mercer), что они должны допустить внутреннее представление продукта. Пусть обозначает вектор признаков а обозначает то же самое для .k1,k2ak1bk2

k1(x,y)=a(x)Ta(y),a(z)=[a1(z),a2(z),aM(z)]k2(x,y)=b(x)Tb(y),b(z)=[b1(z),b2(z),bN(z)]

Таким образом, представляет собой функцию, которая создает -димный вектор, а создает -димный вектор.aMbN

Далее мы просто пишем продукт в терминах и и выполняем некоторую перегруппировку.ab

kp(x,y)=k1(x,y)k2(x,y)=(m=1Mam(x)am(y))(n=1Nbn(x)bn(y))=m=1Mn=1N[am(x)bn(x)][am(y)bn(y)]=m=1Mn=1Ncmn(x)cmn(y)=c(x)Tc(y)

где - мерный вектор , st .c(z)MNcmn(z)=am(z)bn(z)

Теперь, поскольку мы можем записать как внутренний продукт, используя карту характеристик , мы знаем, что является допустимым ядром (по теореме Мерсера). Это все, что нужно сделать.kp(x,y)ckp

Майк Хьюз
источник
Откуда вы знаете, что особенность гильбертова пространства конечномерна? Разве это не может быть даже неразделимым?
Андрей Х
Согласно вашему первому абзацу, мы знаем только, что kernel существование внутреннего представления продукта. Но в своем заключении вы используете, что существование внутреннего представления продукта подразумевает, что является ядром. Почему это действительно? kkp
Виктор Гломбик
0

Предположим, что и - это матрица ядра этих двух ядер и , соответственно, и они являются PSD. Мы определяем и хотим доказать, что это также ядро. Это эквивалентно тому, что соответствующая матрица ядра является PSD.K1K2k1(x,y)k2(x,y)k(x,y)=k1(x,y)k2(x,y)K=K1K2

  1. K3=K1K2 - PSD (произведение Кронекера двух PSD - PSD).
  2. K является главной подматрицей и, следовательно, является PSD (основной подматрицей PSD является PSD).K3
цеяо чжан
источник