Рассмотрим логнормальные случайные величины и с и .
и ,
но они сделали некоторые ссылки на комонотонность и контркомонотонность. Я надеялся, что кто-нибудь поможет мне понять, насколько они актуальны. (Я знаю, как получить это из общего выражения, но хочу знать, что конкретно говорят части о комонотонности.)
correlation
copula
Pk.yd
источник
источник
Ответы:
Начну, обеспечивая определение comonotonicity и countermonotonicity . Затем я упомяну, почему это важно для вычисления минимального и максимального возможного коэффициента корреляции между двумя случайными переменными. И, наконец, я вычислю эти оценки для логнормальных случайных величинX1 и X2 .
Комонотонность и контрмонотонностьX1,…,Xd называются комонотонными, если их связка является верхней границей Фреше M(u1,…,ud)=min(u1,…,ud) , которая является самой сильной тип «положительной» зависимости. X1,…,Xd являются комонотонными тогда и только тогда, когда
Случайные переменные
Можно показать, что
Случайные величины называются countermonotonic , если их копула является Фрешем нижней грани , который является самым сильным типом зависимости «отрицательной» в двумерный случай. Противодействие монотонности не распространяется на более высокие измерения. Можно показать, что контрмонотонны тогда и только тогда, когда где - некоторая случайная величина, и и являются соответственно возрастающей и убывающей функцией или наоборот. W ( u 1 , u 2 ) = max ( 0 , u 1 + u 2 - 1 ) X 1 , X 2 ( X 1 , X 2 ) d = ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) , Z ч 1 ч 2Икс1, X2 W( ты1, у2) = max ( 0 , у1+ ты2- 1 )
Икс1, X2
Достижимая корреляция.Икс1 X2 ρmin ρmax X1 X2
Пусть и - две случайные величины со строго положительными и конечными дисперсиями, и пусть и обозначают минимальный и максимально возможный коэффициент корреляции между и . Тогда можно показать, чтоX 2 ρ min ρ max X 1 X 2
Достижимая корреляция для логнормальных случайных величин.ρmax X1 X2 X 2 = е σ Z Z ~ N ( 0 , 1 ) ρ макс = с о т г ( е Z , е σ Z )X1=eZ X2=eσZ Z∼N(0,1) ρmax=corr(eZ,eσZ)
Чтобы получить мы используем тот факт, что максимальная корреляция достигается тогда и только тогда, когда и являются комонотонными. Случайные величины и где являются комонотонными, поскольку экспоненциальная функция является (строго) возрастающей функцией и, таким образом, . Х 1 Х 2 Х 1
Используя свойства логнормальных случайных величин , мы получаем , , , , и ковариация равна Таким образом, Е ( е σ Z ) = е σ 2 / 2E(eZ)=e1/2 E(eσZ)=eσ2/2 v г ( е σ Z ) = е σ 2 ( е σ 2 - 1 ) c o v ( e Zvar(eZ)=e(e−1) var(eσZ)=eσ2(eσ2−1) ρ макс
Подобные вычисления с дают ρ minX2=e−σZ
Комментарийσ
Этот пример показывает, что возможно иметь пару случайных величин, которые сильно зависят друг от друга - комонотонность и контрмонотонность являются наиболее сильным видом зависимости, но имеют очень низкую корреляцию. Следующая таблица показывает эти границы в зависимости от .
Это код R, который я использовал для составления таблицы выше.
источник