Почему смесь двух нормально распределенных переменных является только бимодальной, если их средние значения отличаются как минимум в два раза от стандартного стандартного отклонения?

Под смесь двух нормальных распределений:

https://en.wikipedia.org/wiki/Multimodal_distribution#Mixture_of_two_normal_distributions

«Смесь из двух нормальных распределений имеет пять параметров для оценки: два средних, две дисперсии и параметр смешивания. Смесь из двух нормальных распределений с равными стандартными отклонениями является бимодальной, только если их средние значения отличаются, по меньшей мере, в два раза от общего стандартного отклонения «.

Я ищу вывод или интуитивное объяснение того, почему это правда. Я полагаю, что это может быть объяснено в форме t-теста из двух примеров:

где - стандартное отклонение в пуле.$\sigma_p$

Этот рисунок из статьи, ссылки на которую есть в этой вики-статье, представляет собой хорошую иллюстрацию

Доказательство, которое они предоставляют, основано на том факте, что нормальные распределения являются вогнутыми в пределах одного SD их среднего значения (SD является точкой перегиба нормального pdf, где оно переходит от вогнутого к выпуклому). Таким образом, если вы добавляете два нормальных PDF-файла вместе (в равных пропорциях), то, пока их средние значения отличаются менее чем на два SD, сумма-PDF (то есть смесь) будет вогнутой в области между этими двумя средними, и, следовательно, глобальный максимум должен находиться точно в точке между двумя средними.

Ссылка: Schilling, MF, Уоткинс, AE & Уоткинс, W. (2002). Является ли рост человека бимодальным? Американский статистик, 56 (3), 223–229. DOI: 10,1198 / 00031300265

Это тот случай, когда изображения могут быть обманчивыми, потому что этот результат является особой характеристикой нормальных смесей: аналог не обязательно имеет место для других смесей, даже если компоненты имеют симметричные унимодальные распределения! Например, равная смесь из двух распределений Стьюдента, разделенных чуть менее чем в два раза их общим стандартным отклонением, будет бимодальной. Тогда для реального понимания мы должны сделать некоторую математику или обратиться к особым свойствам нормальных распределений.

Выберите единицы измерения (от центрирования и перемасштабирования по мере необходимости) для размещения средств составных распределений на $\pm\mu,$ $\mu\ge 0,$ и сделать их общую дисперсию единства. Пусть $p,$ $0 \lt p \lt 1,$ будет количеством среднего компонента в смеси. Это позволяет нам выразить плотность смеси в полной общности как

Поскольку обе плотности компонентов увеличиваются там, где $x\lt -\mu$ и уменьшаются там, где $x\gt \mu,$ единственные возможные моды возникают там, где $-\mu\le x \le \mu.$ Найдите их, дифференцируя $f$ относительно $x$ и устанавливая его в ноль. Очистка любых положительных коэффициентов, которые мы получаем

Выполнение аналогичных операций со второй производной от $f$ и замена $e^{2x\mu}$ на значение, определенное в предыдущем уравнении, говорит нам, что знак второй производной в любой критической точке является знаком

Так как знаменатель является отрицательным , когда $-\mu\lt x \lt \mu,$ знак $f^{\prime\prime}$ является то , что $-(1-\mu^2 + x^2).$Ясно, что когда $\mu\le 1,$ знак должен быть отрицательным. Однако в мультимодальном распределении (поскольку плотность непрерывна), между любыми двумя модами должен быть антимод , где знак неотрицателен. Таким образом, когда $\mu$ меньше $1$ (SD), распределение должно быть унимодальным.

Поскольку разделение средств составляет $2\mu,$ заключение этого анализа

Смесь нормальных распределений унимодальна, если средние значения разделены не более чем в два раза по отношению к общему стандартному отклонению.

Это логически эквивалентно утверждению в вопросе.

Комментарий сверху вставлен сюда для преемственности:

Комментарий продолжен:

$\sigma=1.$$3\sigma, 2\sigma,$$\sigma,$

R код для рисунка:

par(mfrow=c(1,3))
  curve(dnorm(x, 0, 1)+dnorm(x,3,1), -3, 7, col="green3", 
    lwd=2,n=1001, ylab="PDF", main="3 SD: Dip")
  curve(dnorm(x, .5, 1)+dnorm(x,2.5,1), -4, 7, col="orange", 
    lwd=2, n=1001,ylab="PDF", main="2 SD: Flat")
  curve(dnorm(x, 1, 1)+dnorm(x,2,1), -4, 7, col="violet", 
    lwd=2, n=1001, ylab="PDF", main="1 SD: Peak")
par(mfrow=c(1,3))