Как доказать, что для ядра гауссовского RBF не существует конечномерного пространства признаков?

Как доказать, что для радиальной базисной функции не существует конечномерного пространства признаковHтакого, что для некоторогоимеем?$k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$$H$$\Phi: \text{R}^n \to H$$k(x, y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$

Теорема Мура-Аронсайна гарантирует, что симметричное положительно определенное ядро ​​связано с единственным гильбертовым пространством, воспроизводящим ядро. (Обратите внимание, что хотя RKHS является уникальным, само отображение не является.)

Поэтому на ваш вопрос можно ответить, представив бесконечномерную RKHS, соответствующую ядру Гаусса (или RBF). Вы можете найти подробное исследование этого в « Явном описании воспроизводящих гильбертовых пространств ядер гауссовых RBF-ядер », Steinwart et al.

$k(x, y)$$X \times X$$X$$x_1, ..., x_m \in X$$(k(x_i, x_j))_{m \times m}$$\mathrm\Phi(x_1), ..., \mathrm\Phi(x_m)$$H$$k$