Границы разности коррелированных случайных величин

9

Учитывая две сильно коррелированные случайные величины и , я хотел бы ограничить вероятность того, что разностьпревышает некоторое количество: XY|XY|

P(|XY|>K)<δ

Для простоты предположим, что:

  • Коэффициент корреляции известен как «высокий», скажем: ρX,Y=covar(X,Y)/σXσY1ϵ

  • X,Y означают ноль:μx=μy=0

  • 1xi,yi1 (или если это проще)0xi,yi1

  • (Если это облегчает задачу, скажем, имеют одинаковую дисперсию: )сг 2 X = сг 2 YX,YσX2=σY2

Не уверен, насколько это возможно, чтобы получить ограничение на разницу, учитывая только вышеупомянутую информацию (я, конечно, не мог получить где-нибудь). Было бы неплохо конкретное решение (если таковое имеется), обязательные дополнительные ограничения на дистрибутивы или просто рекомендации по подходу.

Avanti89
источник

Ответы:

9

Даже без этих упрощающих допущений можно получить оценку, комбинируя несколько обычных инструментов:

В некоторых деталях:

σИкс-Y2знак равноσИкс2+σY2-2·соv(Икс,Y)

соv(Икс,Y)знак равноσИкс·σY·ρИксY

σИкс-Y2знак равноσИкс2+σY2-2·σИкс·σY·ρИкс,Y

Согласно неравенству Чебышева, для любой случайной величины :Z

Pr(|Z-μ|Кσ)1К2

Затем (и используя это :μИкс-Yзнак равноμИкс-μY)

Pr(|Икс-Y-μИкс+μY|К·σИкс2+σY2-2·σИкс·σY·ρИкс,Y)1К2

Мы можем использовать предложенные упрощающие предположения, чтобы получить более простое выражение. Когда:

ρИкс,Yзнак равносоvaр(Икс,Y)/σИксσYзнак равно1-ε
μИксзнак равноμYзнак равно0
σИкс2знак равноσY2знак равноσ2

Затем:

σИкс2+σY2-2·σИкс·σY·ρИкс,Yзнак равно2·σ2·(1-(1-ε))знак равно2σ2ε

И поэтому:

Pr(|Икс-Y|К·σ2ε)1К2

Интересно, что этот результат сохраняется, даже если не маленький, и если условие для корреляции изменяется с на , результат не меняется (потому что это уже неравенство).εзнак равно1-ε1-ε

Pere
источник