Высокомерная регрессия: почему

Я пытаюсь прочитать об исследованиях в области регрессии больших размеров; когда больше , то есть . Похоже, термин часто встречается в терминах скорости сходимости для оценок регрессии.$p$$n$$p >> n$$\log p/n$

Например, здесь уравнение (17) говорит, что для подгонки лассо удовлетворяет $\hat{\beta}$

Обычно это также означает, что $\log p$ должно быть меньше $n$ .

1. Есть ли какая-то интуиция, почему это соотношение $\log p/n$ так заметно?
2. Кроме того, из литературы кажется, что проблема многомерной регрессии усложняется, когда $\log p \geq n$ . Почему это так?
3. Есть хороший справочник, в котором обсуждаются вопросы о том, как быстро должны расти $p$ и $n$ по сравнению друг с другом?

(Перенесено из комментариев к ответу по запросу @Greenparker)

Часть 1)

$\sqrt{\log p}$ term происходит от (гауссовой) концентрации меры. В частности, если у вас есть$p$IID гауссовских случайных величин [F1], их максимум порядка$\sigma\sqrt{\log p}$ с высокой вероятностью.

$n^{-1}$ фактор просто приходит факт вы смотрите на средней ошибки предсказания - то есть, он соответствует $n^{-1}$ на другой стороне - если вы смотрели на общую ошибку, она не будет.

Часть 2)

По сути, у вас есть две силы, которые вы должны контролировать:

• i) хорошие свойства иметь больше данных (поэтому мы хотим, чтобы было большим);$n$
• II) трудности имеют больше (не имеет значения) особенности (поэтому мы хотим, чтобы было маленьким).$p$

В классической статистике мы обычно фиксируем и позволяем n переходить в бесконечность: этот режим не очень полезен для теории больших измерений, потому что он (асимптотически) в режиме низких измерений по построению .$p$$n$

В качестве альтернативы, мы могли бы позволить перейти в бесконечность, а n остаться неизменным, но тогда наша ошибка просто взорвется, поскольку проблема становится практически невозможной. В зависимости от проблемы ошибка может переходить в бесконечность или останавливаться на некоторой естественной верхней границе ( например , ошибка ошибочной классификации 100%).$p$$n$

Поскольку оба эти случая немного бесполезны, мы вместо этого рассматриваем оба переходящие в бесконечность, так что наша теория актуальна (остается многомерной), не будучи апокалиптической (бесконечные особенности, конечные данные).$n, p$

Наличие двух «ручек», как правило, сложнее, чем наличие одной ручки, поэтому мы фиксируем для некоторого фиксированного f и позволяем n переходить в бесконечность (и, следовательно, p переходит в бесконечность косвенно). [F2] Выбор f определяет поведение проблемы. По причинам, приведенным в моем ответе на часть 1, выясняется, что «плохость» от дополнительных функций растет только как log p, а «доброта» от дополнительных данных растет как n .$p=f(n)$$f$$n$$p$$f$$\log p$$n$

• Если остается постоянным (эквивалентно,p=f(n)=Θ(Cn)для некоторогоC), мы наступаем на воду, и проблема заключается в стирке (ошибка остается фиксированной асимптотически);$\frac{\log p}{n}$$p=f(n)=Θ(C^n)$$C$
• если (p=o(Cn)) мы асимптотически достигаем нулевой ошибки;$\frac{\log p}{n} \to 0$$p=o(C^n)$
• и если (p=ω(Cn)), ошибка в конечном итоге уходит в бесконечность.$\frac{\log p}{n}→\infty$$p=\omega(C^n)$

Этот последний режим иногда называют в литературе «сверхвысокой размерностью». Насколько я знаю, термин «сверхвысокомерный» не имеет строгого определения, но неофициально это просто «режим, который нарушает лассо и подобные оценки».

Мы можем продемонстрировать это с помощью небольшого имитационного исследования в довольно идеализированных условиях. Здесь мы берем теоретическое руководство по оптимальному выбору из [BRT09] и выбираем λ = 3 $\lambda$ .$\lambda = 3 \sqrt{\log(p)/n}$

Сначала рассмотрим случай, когда . Это в «управляемом» многомерном режиме, описанном выше, и, как предсказывает теория, мы видим, что ошибка предсказания сходится к нулю:$p = f(n) = 3n$

Код для воспроизведения:

library(glmnet)
library(ggplot2)

# Standard High-Dimensional Asymptotics: log(p) / n -> 0

N <- c(50, 100, 200, 400, 600, 800, 1000, 1100, 1200, 1300)
P <- 3 * N

ERROR_HD <- data.frame()

for(ix in seq_along(N)){
  n <- N[ix]
  p <- P[ix]

  PMSE <- replicate(20, {
    X <- matrix(rnorm(n * p), ncol=p)
    beta <- rep(0, p)
    beta[1:10] <- runif(10, 2, 3)
    y <- X %*% beta + rnorm(n)

    g <- glmnet(X, y)

    ## Cf. Theorem 7.2 of Bickel et al. AOS 37(4), p.1705-1732, 2009. 
    ## lambda ~ 2*\sqrt{2} * \sqrt{\log(p)/n} 
    ## is good scaling for controlling prediction error of the lasso
    err <- X %*% beta - predict(g, newx=X, s=3 * sqrt(log(p)/n))
    mean(err^2)
  })

  ERROR_HD <- rbind(ERROR_HD, data.frame(PMSE=PMSE, n=n, p=p))
}

ggplot(ERROR_HD, aes(x=n, y=PMSE)) + geom_point() + theme_bw() + 
xlab("Number of Samples (n)") + 
ylab("Mean Prediction Error (at observed design points)") + 
ggtitle("Prediction Error Converging to 0 under High-Dim Asymptotics") + 
scale_x_continuous(sec.axis = sec_axis(~ 3 * ., name="Number of Features (p)")) + 
scale_y_log10()

Мы можем сравнить это со случаем, когда остается примерно постоянным: я называю это «пограничным» режимом сверхвысокой размерности, но это не стандартный термин:$\frac{\log p}{n}$

P <- 10 + ceiling(exp(N/120))

Здесь мы видим, что ошибка прогнозирования (с использованием той же схемы, что и выше) выравнивается, а не продолжается до нуля.

$P$$e^n$$e^{n^2}$$e^{n^2}$

P <- 10 + ceiling(exp(N^(1.03)/120))

$X$$e^{n^1.5}$

Несмотря на то, что я сказал выше и как это может выглядеть, режим сверхвысокой размерности на самом деле не является полностью безнадежным (хотя он и близок), но он требует гораздо более сложных методов, чем просто максимальное число гауссовских случайных величин для контроля ошибки. Необходимость использования этих сложных методов является основным источником сложности, которую вы отмечаете.

$p, n$$p = f(n)$

Часть 3)

$\log p$$n$

$n, p$$n, p$

Если вам удобно и вы хотите углубиться в исследовательскую литературу, я бы посмотрел на работы Jianqing Fan и Jinchi Lv, которые выполнили основную работу над проблемами сверхвысокой размерности. («Скрининг» - хороший термин для поиска)

[F1] На самом деле, любая субгауссова случайная величина, но это не так уж много добавляет к этому обсуждению.

$s$$n$$s = g(n)$

[F3] Т. Хасти, Р. Тибширани и М. Уэйнрайт. Статистическое обучение с редкостью. Монографии по статистике и прикладной вероятности 143. CRC Press, 2015. Доступно для бесплатного скачивания по адресу https://web.stanford.edu/~hastie/StatLearnSparsity_files/SLS.pdf.

[BRT] Питер Дж. Биккель, Яков Ритов и Александр Б. Цыбаков. «Одновременный анализ лассо и селектора Данцига». Летопись статистики 37 (4), с. 1705-1732, 2009. http://dx.doi.org/10.1214/08-AOS620