Доказательства на уровне бакалавриата теоремы Питмана – Купмана – Дармуа

10

Теорема Питмана – Купмана – Дармуа гласит, что если выборка iid из параметризованного семейства вероятностных распределений допускает достаточную статистику, число скалярных компонент которой не растет с размером выборки, то это экспоненциальное семейство.

  • Какие-нибудь учебники или элементарные пояснительные работы дают доказательства?
  • Почему он назван в честь этих трех человек?
mathematical-statistics references Майкл Харди
источник

Ответы:

6

Причина, по которой лемму называют «Питман-Купман-Дармуа», заключается в том, что эти три автора независимо друг от друга в одно и то же время создали аналогичные версии леммы:

  • Darmois, G. (1935) Sur les lois de вероятно, оценка исчерпывающая, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 200, 1265-1266.
  • Купман Б.О. (1936) О распределениях, допускающих достаточную статистику, Труды Американского математического общества , Vol. 39, № 3. [ссылка]
  • Питман, EJG (1936) Достаточная статистика и внутренняя точность, Труды Кембриджского философского общества , 32, 567-579.

следуя одномерному результату в

  • Фишер, Р. А. (1934) Два новых свойства математической вероятности, Слушания Королевского общества , Серия А, 144, 285-307.

Я не знаю нетехнических доказательств этого результата. Одно доказательство, которое не включает в себя сложные аргументы, - это дон Фрейзер (стр. 13-16), основанный на аргументе, что функция правдоподобия является достаточной статистикой с функциональным значением. Но я нахожу аргумент спорным, потому что статистика - это действительные векторы, которые являются функциями выборки , а не функционалами (преобразование со значением функции). Изменяя природу статистики, Дон Фрейзер меняет определение достаточности и, следовательно, значение леммы Дармуа-Купмана-Питмана.Икс

Сиань
источник
1
+1. Nitpick на связанной бумаге Koopman в параграфе после уравнения. (6) доказательство всюду исчезающего якобиана: окрестность не должна выбираться произвольно только для того, чтобы якобиан отличался от нуля. Он должен аргументироваться локально для каждой точки а не локально. (Определенное) существование ненулевого дифференциала в этой точке гарантирует, что существует достаточно малая окрестность этой точки такая, что левая часть уравнения. (5) в этой окрестности, отличной от этой точки, всегда отличается от той в этой точке. (Икс10,Икс20,Икс30)
Ганс
1
Неверно, что ненулевой якобиан приводит к глобальным уникальным значениям в области (многообразии), как это подразумевается в статье. Это верно только локально. Также размерность сохраняется не гомеоморфизмом, как утверждается в последнем предложении этого параграфа, а скорее локальным диффеоморфизмом, который имеет место здесь.
Ганс