Переменная индикатора для двоичных данных: {-1,1} против {0,1}

Я заинтересован в лечебно-ковариат взаимодействий в контексте экспериментов / рандомизированных контролируемых исследований, с бинарным назначения лечения индикатора .$T$

В зависимости от конкретного метода / источника, я видел как и T = { 1 , - 1 } для обработанных и необработанных субъектов соответственно.$T=\{1,0\}$$T=\{1, -1\}$

Есть ли эмпирическое правило, когда использовать или { 1 , - 1 } ?$\{1,0\}$$\{1, -1\}$

Чем отличается интерпретация?

Интерпретация как оценки переменной индикатора, так и точки пересечения отличается. Давайте начнем с :$\{1,0\}$

Скажем, у вас есть следующая модель

$$y_i = \beta_0 + treatment\cdot\beta_1$$

где

$$treatment = \begin{cases} 0 & \text{if placebo} \\ 1 & \text{if drug} \end{cases}$$

В этом случае вы получите следующие формулы для :$y_i$

$$y_i = \begin{cases} \beta_0 + 0\cdot\beta_1 = \beta_0 & \text{if placebo} \\ \beta_0 + 1\cdot\beta_1 = \beta_0 + \beta_1 & \text{if drug} \end{cases}$$

Таким образом, интерпретация - это эффект плацебо, а интерпретация β 1 - это разница между эффектом плацебо и эффектом препарата. По сути, вы можете интерпретировать β 1 как улучшение, которое предлагает препарат.$\beta_0$$\beta_1$$\beta_1$

---

Теперь давайте посмотрим на :$\{-1,1\}$

Затем у вас есть следующая модель (снова):

$$y_i = \beta_0 + treatment\cdot\beta_1$$

но где

$$treatment = \begin{cases} -1 & \text{if placebo} \\ 1 & \text{if drug} \end{cases}$$

В этом случае вы получите следующие формулы для :$y_i$

$$y_i = \begin{cases} \beta_0 + -1\cdot\beta_1 = \beta_0 - \beta_1& \text{if placebo} \\ \beta_0 + 1\cdot\beta_1 = \beta_0 + \beta_1 & \text{if drug} \end{cases}$$

Интерпретация здесь заключается в том, что представляет собой среднее значение эффекта плацебо и лекарственного средства, а β 1 представляет собой разницу двух обработок с этим значением.$\beta_0$$\beta_1$

---

Так что вы используете?

Интерпретация в { $\beta_0$ является в основном базовой линией. Вы устанавливаете какой-то стандартный курс лечения, а все остальные процедуры (их может быть несколько) сравниваются с этим стандартом / базовым уровнем. Особенно, когда вы начинаете добавлять другие ковариаты, это остается легко интерпретировать в отношении стандартного медицинского вопроса: как эти препараты сравниваются с плацебо или установленным препаратом?$\{0,1\}$

Но, в конце концов, все зависит от толкования, которое я объяснил выше. Таким образом, вы должны оценить свои гипотезы и проверить, какая интерпретация делает вывод выводов наиболее простым.

В контексте линейной регрессии $x_i \in \{0, 1\}$ является более естественным (и стандартным) методом для кодирования двоичных переменных (будь то размещение их в левой части правой части регрессии). Как объясняет @Jarko Dubbeldam, вы, конечно, можете использовать другую интерпретацию, и значение коэффициентов будет другим.

Чтобы привести пример другим способом, кодирование выходных переменных является стандартным при программировании или получении математической основы$y_i \in \{-1, 1\}$ машин опорных векторов . (При вызове библиотек вы хотите передать данные в формате, который ожидает библиотека, что, вероятно, является формулировкой 0,1).

Попробуйте использовать стандартное обозначение для всего, что вы делаете / используете.

---

Для любого типа линейной модели с членом-перехватчиком оба метода будут эквивалентны в том смысле, что они связаны простым линейным преобразованием. Математически не имеет значения, используете ли вы матрицу данных или матрицу данных ˜ X = X A, где A - полный ранг. В обобщенных линейных моделей, ваши оценки коэффициентов либо образом будут связаны линейным преобразованием А и подогнанные значения у будут одинаковыми.$X$$\tilde{X} = XA$$A$$A$$\hat{y}$

Это более абстрактно (и, возможно, бесполезно), но я отмечу, что эти два представления в математическом смысле фактически являются представлениями группы, и между ними существует изоморфизм.

$T$$T_1$$T_2$$T_1 \Leftrightarrow T_2$$\mathbb{Z}_2$${1,0}$${1,-1}$$a \Leftrightarrow b = 1 - (a+b)$$a \Leftrightarrow b = ab$$\phi(a) = 2*a-1$

$p$$T$$T \Leftrightarrow T'$$p' \Leftrightarrow p = pp' + (1-p)(1-p')$$t(p) = 2p-1$$t \Leftrightarrow t' = tt'$$t$