Любой пример (примерно) независимых переменных, которые зависят от экстремальных значений?

Я ищу пример 2 случайных величин $X$ , $Y$ такой, что

но если рассматривать хвостовую часть распределений, они сильно коррелируют. (Я стараюсь избегать «коррелированных» / «корреляций» для хвоста, потому что он может быть не линейным).

Вероятно, используйте это:

где зависит от населения , а определяется в том же смысле. X > 90 % X Y $X'$$X > 90\%$$X$$Y'$

Вот пример, где и Y даже имеют нормальные маргиналы.$X$$Y$

Позволять:

Условно на , пусть Y = X, если$X$$Y = X$ или Y = - X в противном случае для некоторой постоянной ϕ .$|X| > \phi$$Y = -X$$\phi$

Вы можете показать, что независимо от незначительно имеем:$\phi$

Существует такое значение , что cor ( X , Y ) = $\phi$$\text{cor}(X,Y) = 0$ . Если то cor ( X , Y ) ≈ 0 .$\phi = 1.54$$\text{cor}(X,Y)\approx 0$

Тем не менее, и Y не являются независимыми, и экстремальные значения обоих полностью зависят. См. Симуляцию в R ниже, и график, который следует.$X$$Y$

Nsim <- 10000
set.seed(123)

x <- rnorm(Nsim)
y <- ifelse(abs(x)>1.54,x,-x)

print(cor(x,y)) # 0.00284 \approx 0

plot(x,y)

extreme.x <- which(abs(x)>qnorm(0.95))
extreme.y <- which(abs(y)>qnorm(0.95))
extreme.both <- intersect(extreme.x,extreme.y)

print(cor(x[extreme.both],y[extreme.both])) # Exactly 1