Что можно сделать вывод о данных, когда среднее арифметическое очень близко к среднему геометрическому?

Есть ли что-то существенное в среднем геометрическом и среднем арифметическом значении, которое находится очень близко друг к другу, скажем, ~ 0,1%? Какие предположения можно сделать о таком наборе данных?

Я работал над анализом набора данных и заметил, что по иронии судьбы значения очень и очень близки. Не точно, но близко. Кроме того, быстрая проверка правильности среднего арифметического среднего геометрического неравенства, а также обзор сбора данных показывают, что нет ничего подозрительного в целостности моего набора данных с точки зрения того, как я пришел к значениям.

descriptive-statistics mean geometric-mean user12289
источник

Небольшое примечание: сначала проверьте, все ли ваши данные положительны; четное число отрицательных значений может оставить вас с положительным продуктом, а некоторые пакеты могут не помечать потенциальную проблему (неравенство AM-GM основывается на положительных значениях). Смотрите, например (в R):x=c(-5,-5,1,2,3,10); prod(x)^(1/length(x))

$\:\quad$ [1] 3.383363 (в то время как среднее арифметическое равно 1)

Glen_b

Чтобы уточнить точку @ Glen_b, набор данных

{- x, 0, x}

$\{-x,0,x\}$ всегда имеет одинаковое арифметическое и геометрическое среднее, а именно ноль. Однако мы можем распределить три значения настолько далеко друг от друга, насколько пожелаем.

hardmath

Как арифметическое, так и геометрическое среднее имеют одинаковую обобщенную формулу , где

дает первое, а

- второе. Затем становится интуитивно понятно, что эти два становятся ближе и ближе друг к другу, когда значения данных

становятся все более и более равными, приближаясь к константе.

p = 1

$p=1$

p \to 0

$p \rightarrow 0$

x

$x$

ttnphns

Ответы:

Среднее арифметическое связано с геометрическим средним через неравенство Среднее арифметическое-среднее-геометрическое (AMGM), которое гласит:

\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}},

$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n} n \geq \sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n},$

где равенство достигается тогда и только тогда, когда . Так что, вероятно, ваши точки данных все очень близки друг к другу. $x_1=x_2=\cdots=x_n$

Алекс Р.
источник

Это правильно. Как правило, чем меньше дисперсия значений, тем ближе два средних.

Майкл М

Дисперсия должна быть небольшой СРАВНЕНИЕМ с размерами наблюдений. Таким образом, коэффициент вариации

должен быть небольшим.

σ / μ

$\sigma/\mu$

$\qquad$

Майкл Харди

AMGM означает что-нибудь? Если это так, было бы хорошо, чтобы это было прописано.

Ричард Харди

@RichardHardy: AMGM означает «среднее арифметическое - среднее геометрическое»

@ user1108, спасибо, вообще-то, понял после прочтения других постов. Я просто думаю, что это может быть прописано в ответе (не только в комментариях).

Ричард Харди

Рассматривая ответ @Alex R, один из способов увидеть неравенство AMGM - это эффект неравенства Дженсена. По неравенству Дженсена : Тогда возьмите экспоненту обеих сторон:

\log (\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i}) \geq \frac{1}{n} \sum_{i} \log x_{i}

$\log\left( \frac{1}{n} \sum_i x_i \right) \geq \frac{1}{n} \sum_i \log x_i$

\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i} \geq \exp (\frac{1}{n} \sum_{i} \log x_{i})

$\frac{1}{n} \sum_i x_i \geq \exp\left( \frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$

Правая часть представляет собой среднее геометрическое, поскольку $\left(x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)^{1/n} = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$

Когда неравенство AMGM выполняется с почти равенством? Когда эффект неравенства Дженсена невелик. В основе эффекта неравенства Дженсена лежит вогнутость, кривизна логарифма. Если ваши данные распределены по области, где логарифм имеет кривизну, эффект будет большим. Если ваши данные распределены по региону, где логарифм в основном аффинный, то эффект будет небольшим.

Например, если данные имеют небольшое отклонение, сгруппированы вместе в достаточно малой окрестности, то логарифм будет выглядеть как аффинная функция в этой области (тема исчисления заключается в том, что если вы достаточно увеличите масштаб для гладкой, непрерывной функции, то это будет выглядеть как линия). Для данных, достаточно близких друг к другу, среднее арифметическое данных будет близко к среднему геометрическому.

Мэтью Ганн
источник

Давайте исследуем диапазон учитывая, что их среднее арифметическое (AM) является кратным их среднего геометрического (GM) (с ). В вопросе но мы не знаем . $x_1\le x_2 \le \cdots \le x_n$ $1+\delta$ $\delta \ge 0$ $\delta\approx 0.001$ $n$

Поскольку соотношение этих средств не меняется при изменении единиц измерения, выберите единицу, для которой GM равен . Таким образом, мы стремимся максимизировать учетом ограничения, что и . $1$ $x_n$ $x_1+x_2+\cdots+x_n = n(1+\delta)$ $x_1\cdot x_2\cdots x_n = 1$

Это будет сделано, сделав , скажем, и . таким образом $x_1=x_2=\cdots=x_{n-1}=x$ $x_n=z \ge x$

n (1 + δ) = x_{1} + \dots + x_{n} = (n - 1) x + z

$n(1+\delta) = x_1 + \cdots + x_n = (n-1)x + z$

а также

1 = x_{1} \cdot x_{2} \dots x_{n} = x^{n - 1} z .

$1 = x_1\cdot x_2 \cdots x_n = x^{n-1}z.$

$x$ $0$ $1$

(1 - n) x^{n} + n (1 + δ) x^{n - 1} - 1.

$(1-n)x^n + n(1+\delta)x^{n-1} - 1.$

$x$ $z$ $\delta$ $n=6, 20, 50, 150$

As soon as $n$ reaches any appreciable size, even a tiny ratio of $1.001$ is consistent with one large outlying $x_n$ (the upper red curves) and a group of tightly clustered $x_i$ (the lower blue curves).

At the other extreme, suppose $n=2k$ is even (for simplicity). The minimum range is achieved when half the $x_i$ equal one value $x \le 1$ and the other half equal another value $z \ge 1$ . Now the solution (which is easily checked) is

x^{k} = 1 + δ \pm \sqrt{δ^{2} + 2 δ} .

$x^k = 1+\delta \pm \sqrt{\delta^2 + 2\delta}.$

For tiny $\delta$ , we may ignore the $\delta^2$ as an approximation and also approximate the $k^\text{th}$ root to first order, giving

x \approx 1 + \frac{δ - \sqrt{2 δ}}{k}; z \approx 1 + \frac{δ + \sqrt{2 δ}}{k} .

$x \approx 1 + \frac{\delta-\sqrt{2\delta}}{k};\ z \approx 1 + \frac{\delta+\sqrt{2\delta}}{k}.$

The range is approximately $\sqrt{32\delta}/n$ .

In this manner we have obtained upper and lower bounds on the possible range of the data. We have learned that they depend heavily on the amount of data $n$ . The upper bound shows the range can be appreciable even for tiny $\delta$ , thereby improving our sense of just how close to each other the data points really need to be--and placing a lower limit on their range, too.

Similar analyses, just as easily carried out, can inform you--quantitatively--of how tightly clustered the $x_i$ might be in terms of any other measure of spread, such as their variance or coefficient of variation.

whuber
источник

On the right of your right hand graph you seem to have

n = 150, δ = 0.002, x \approx 0.9954, z \approx 1.983, k = 75

$n=150, \delta=0.002, x\approx 0.9954, z \approx 1.983, k=75$ . I do not see how these values are near your stated formulae approximations which seem to give

x \approx 0.99918, z \approx 1.00087

$x \approx 0.99918, z\approx 1.00087$ . Perhaps I have misunderstood

Henry

@Henry I don't know how you came up with those numbers. When

n = 150

$n=150$ , the requirements are that

x^{149} z = 1

$x^{149} z=1$ and

149 x + z = 150 (1.002) = 150.3

$149x + z=150(1.002)=150.3$ . Neither of those comes close to being true for the values you supply. When you plug in

x = 0.995416

$x=0.995416$ and

z = 1.98308

$z=1.98308$ , you get the correct values.

whuber

Я попробовал то, что мне кажется твоим

z \approx 1 + \frac{δ + \sqrt{2 δ}}{k} = 1 + \frac{0.002 + \sqrt{2 \times 0.002}}{75} \approx 1.00087

$z \approx 1 + \dfrac{\delta+\sqrt{2\delta}}{k} = 1+\dfrac{0.002+\sqrt{2\times 0.002} }{75} \approx 1.00087$ and similarly for

x

$x$ . But now I see this is answering a different question

Henry

@Henry That solves a different problem: those are the values that give a minimum range. I did not post graphs for those. Indeed, with your

x

$x$ and

z

$z$ we have

75 x + 75 z \approx 150.3

$75x+75z\approx 150.3$ and

x^{75} z^{75} \approx 1

$x^{75}z^{75}\approx 1$ , as required.

whuber