Является ли выборочный коэффициент корреляции объективной оценкой коэффициента корреляции населения?

Правда ли, что является объективной оценкой для ? То есть $R_{X,Y}$ $\rho_{X,Y}$

E [R_{X, Y}] = ρ_{X, Y} ?

$\mathbf{E}\left[R_{X,Y}\right]=\rho_{X,Y}?$

Если нет, то какова объективная оценка для ? (Возможно, существует стандартный объективный оценщик, который используется? Кроме того, он аналогичен несмещенной выборочной дисперсии, где мы просто выполняем простую настройку умножения смещенной выборочной дисперсии на ?) $\rho_{X,Y}$ $\frac{n}{n-1}$

Коэффициент корреляции населения определяется как а выборочный коэффициент корреляции определяется как

ρ_{X, Y} = \frac{E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})]}{\sqrt{E [{(X - μ_{X})}^{2}]} \sqrt{E [{(Y - μ_{Y})}^{2}]}},

$\rho_{X,Y}=\frac{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]}\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}},$

R_{X, Y} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} .

$R_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}.$

correlation Кенни ЖЖ
источник

(Немного похожий) вопрос об оценках .

ρ

$\rho$

ttnphns

Вопрос «что такое объективная оценка» предполагает, что она есть, а есть только одна. Априори , похоже, нет оснований так думать.

$\qquad$

Майкл Харди

@MichaelHardy: я исправил это. Спасибо за указание.

Кенни ЖЖ

Просто наткнулся на эту ветку, и я думаю, что это может быть интересным прочитанным sciencedirect.com/science/article/pii/S0167715298000352 (я еще не читал это сам tbh)

martn

минимальная дисперсия объективной оценки: projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706717

Sextus Empiricus

Ответы:

Это не простой вопрос, но некоторые выражения доступны. Если вы говорите о нормальном распределении, в частности, то ответ НЕТ ! У нас есть

E \hat{ρ} = ρ [1 - \frac{(1 - ρ^{2})}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}})]

$\mathbb{E} \widehat{\rho} = \rho \left[1 - \frac{\left(1-\rho^2 \right)}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]$

как видно из главы 2 Лемановской теории оценки точек. В вышеприведенном выражении есть бесконечно много членов, но мы, по сути, рассматриваем члены равного или более низкого порядка, чем пренебрежимо мало. $n^{-2}$

Эта формула показывает, что выборочный коэффициент корреляции является несмещенным только для , то есть независимости, как и следовало ожидать. Это также несмещено для вырожденных случаев с , но это не очень интересно. В общих случаях смещение будет порядка но довольно мало для всех разумных размеров выборки. $\rho = 0$ $|\rho| = 1$ $\frac{1}{n}$

В нормальных распределениях выборочный коэффициент корреляции равен mle, что означает, что он асимптотически несмещен. Вы также можете видеть это из приведенной выше формулы как . Отметим, что это уже следует из ограниченности и согласованности выборочного коэффициента корреляции с помощью теоремы ограниченной сходимости. $\mathbb{E} \widehat{\rho} \to \rho$

JohnK
источник

В вышеприведенном выражении может быть бесконечно много терминов, но «бесконечными терминами» будут некоторые термины, каждый из которых бесконечен.

$\qquad$

Майкл Харди

Предположим, что все точки в двумерной совокупности лежат на прямой с ненулевым наклоном. Тогда все точки в любом образце делают то же самое. Поэтому я предполагаю, что если корреляция населения имеет абсолютное значение поэтому также выборочная корреляция .

| ρ | = 1

$|\rho| = 1$

| r | \equiv 1

$|r| \equiv 1$

Ник Кокс

@NickCox Это правда, в вырожденном случае выборочный коэффициент корреляции вернул бы

| 1 |

$|1|$ без ошибки оценки.

JohnK

Для связанного вопроса, кто-нибудь знает, существуют ли аналогичные результаты для любых других распределений, кроме 2D нормаль?

Riemann1337