Распределение обратного коэффициента регрессии

9

Предположим, что у нас есть линейная модель которая удовлетворяет всем стандартным предположениям регрессии (Гаусса-Маркова). Мы заинтересованы в . θ = 1 / β 1Yязнак равноβ0+β1Икся+εяθзнак равно1/β1

Вопрос 1: Какие предположения необходимы для того, чтобы распределение было четко определено? было бы важно --- любые другие? ; & beta10θ^β10

Вопрос 2: Добавьте предположение, что ошибки соответствуют нормальному распределению. Мы знаем, что если является MLE и является монотонной функцией, то является MLE для , Монотонность необходима только в окрестности ? Другими словами, является ли MLE? Теорема о непрерывном отображении, по крайней мере, говорит нам, что этот параметр согласован.г()г( β 1)г(β1)β1 θ =1/ ββ^1г()г(β^1)г(β1)β1θ^знак равно1/β^

Вопрос 3: Являются ли и Дельта-метод, и начальная загрузка подходящими средствами для нахождения распределения ?θ^

Вопрос 4. Как эти ответы изменяются для параметра ?γзнак равноβ0/β1

В сторону: мы могли бы рассмотреть вопрос о перестановке проблемы, чтобы получить для прямой оценки параметров. Мне кажется, это не работает, так как предположения Гаусса-Маркова здесь больше не имеют смысла; мы не можем говорить о , например. Правильно ли это толкование?E[ϵy]

Иксязнак равноβ0β1+1β1Yя+1β1εязнак равноγ+θYя+1β1εя
Е[ε|Y]
Чарли
источник
Включают ли «стандартные» допущения нормальность или нет? εя
whuber
Хорошая точка зрения; Я добавил это предположение к части о MLE. Это не должно быть необходимо для других, хотя.
Чарли
1
Распределение выборки является нормальным, распределение является обратным к нормальному. Это бимодальное с расходящимся (бесконечным) средним, независимо от того, может быть среднее значение , и оно бесконечно плоское в 0. Таким образом, метод Дельты будет ужасным, обычные асимптотические приближения MLE будут плохими, и даже бутстреп может быть подозрительным θ β 1β1θβ1
whuber
@whuber, не могли бы вы рассказать об этом? Моя интуиция не понимает, как обратная нормали должна быть бимодальной; я предполагаю, что вся масса будет равна обратной величине от нормальной (здесь ). Я беспокоился о возможности бесконечного среднего из-за массы около 0. Бутстрап и асимптотические результаты требуют наличия оцениваемых моментов, так что в конечном итоге этот вопрос зависит. 1/β^1
Чарли
1
PDF обратной нормали - это . При 0 все производные равны 0; поиск критических точек по его логарифму идентифицирует положительный и отрицательный режим (легко вычисляется в терминах и ); интеграл отрасходится как интеграл от, Проблема с бесконечными первыми моментами связана с обратной величиной любой случайной величины, имеющей положительную плотность вероятности в 0, которая включает все нормали. exp((1/xμ)2/(2σ2))/(2πx2σ)dxσμ/σ|x||x|/x2=1/|x|
whuber

Ответы:

3

Q1. Если β 1 является ОМП р 1 , то θ является ОМП & thetas и β 10 является достаточным условием для этого оценки , чтобы быть хорошо определены.β^1β1θ^θβ10

Q2. Θ = 1 / β является ОМП & thetas от свойства инвариантности ОМП. Кроме того, вам не нужна монотонность g, если вам не нужно получать ее инверсию. Необходимо только, чтобы g было четко определено в каждой точке. Вы можете проверить это в теореме 7.2.1, стр. 350 «Вероятности и статистического вывода» Нитиса Мухопадхьяя.θ^=1/β^θgg

Q3. Да, вы можете использовать оба метода, я бы также проверил вероятность профиля .θ

(θ,γ)γγ^знак равноβ^0/β^1

Подход, который вы упоминаете в конце, неверен, вы на самом деле рассматриваете «калибровочную модель», которую вы можете проверить в литературе. Единственное, что вам нужно, это перепараметрировать с точки зрения параметров, представляющих интерес.

Надеюсь, это поможет.

С уважением.

XMX
источник
3
Спасибо за ответ. У меня нет книги, которую вы цитируете, но часто эти свойства требуют наличия оцениваемых моментов. Я не уверен, что ответная реакция нормального имеет необходимые моменты. Я должен был прояснить этот вопрос в своем вопросе.
Чарли