Два определения p-значения: как доказать их эквивалентность?

Я читаю книгу Ларри Вассермана « Вся статистика» и в настоящее время рассказываю о p-значениях (стр. 187). Позвольте мне сначала ввести некоторые определения (я цитирую):

Определение 1 Степенная функция теста с областью отклонения определяется как Размер теста определяется как тест имеет уровень \ alpha, если его размер меньше или равен \ alpha .$R$

$$\beta(\theta)=P_{\theta}(X\in R)$$ $$\alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta)$$ $\alpha$$\alpha$

Это в основном говорит о том, что $\alpha$ , размер является «самой большой» вероятностью ошибки типа I. Затем значение $p$ определяется через (я цитирую)

Определение 2 Предположим, что для каждого $\alpha\in(0,1)$ у нас есть тест размера $\alpha$ с областью отклонения $R_\alpha$ . Затем

$$p\text{-value}=\inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha\}$$ где $X^n=(X_1,\dots,X_n)$ .

Для меня это означает: для заданного $\alpha$ есть область тестирования и отклонения $R_\alpha$ так что $\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_{0}(\alpha)}P_\theta(T(X^n)\in R_\alpha)$ . Для $p$ значения я просто беру наименьшее из всех этих $\alpha$ .

Вопрос 1 Если бы это было так, то я мог бы четко выбрать $\alpha = \epsilon$ для сколь угодно малого $\epsilon$ . Какова моя неправильная интерпретация определения 2, то есть что именно оно означает?

Теперь Вассерман непрерывен и формулирует теорему, чтобы иметь «эквивалентное» определение $p$ значения, с которым я знаком (я цитирую):

Теорема Предположим, что размер test имеет вид Тогда где - наблюдаемое значение .$\alpha$

$$\text{reject } H_0 \iff T(X^n)\ge c_\alpha$$ $$p\text{-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0}P_{\theta}(T(X^n)\ge T(x^n))$$ $x^n$$X^n$

Итак, вот мой второй вопрос:

Вопрос 2 Как я могу доказать эту теорему? Может быть, это из-за моего неправильного понимания определения значения, но я не могу понять это.$p$

У нас есть несколько многомерных данных , взятых из дистрибутива с неизвестным параметром . Обратите внимание, что являются примерами результатов.$x$$\mathcal{D}$$\theta$$x$

Мы хотим проверить некоторую гипотезу о неизвестном параметре , значения при нулевой гипотезе находятся в наборе .$\theta$$\theta$$\theta_0$

В пространстве мы можем определить область отклонения , и тогда мощность этой области определяется как . Таким образом, мощность вычисляется для конкретного значения из , как вероятность того, что образец исход находится в области режекции , когда значение есть . Очевидно, что мощность зависит от региона и от выбранного .$X$$R$$R$$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R=P_\bar{\theta}(x \in R)$$\bar{\theta}$$\theta$$x$$R$ $\theta$$\bar{\theta}$$R$$\bar{\theta}$

Определение 1 определяет размер области$R$ как супремум всех значений для в , поэтому только для значений под . Очевидно , что это зависит от региона, так .$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R$$\bar{\theta}$$\theta_0$$\bar{\theta}$$H_0$$\alpha^R=sup_{\bar{\theta} \in \theta_0} \mathcal{P}_\bar{\theta}^R$

Поскольку зависит от у нас есть другое значение при изменении области, и это является основой для определения значения p: измените область, но таким образом, чтобы наблюдаемое значение выборки все еще принадлежало области, для каждая такая область, вычислить , как определено выше , и нижняя грань берется: . Таким образом, значение p является наименьшим размером из всех областей, которые содержат .$\alpha^R$$R$$\alpha_R$$pv(x)=inf_{R |_{x \in R}} \alpha^R$$x$

Тогда эта теорема является просто «переводом» ее, а именно, в случае, когда области определяются с использованием статистики а для значения вы определяете область как . Если вы используете этот тип области в рассуждениях выше, то теорема следующая.$R$$T$$c$$R$$R=\{ x | T(x) \ge c \}$$R$

РЕДАКТИРОВАТЬ из-за комментариев:

@ user8: для теоремы; если вы определяете области отклонения, как в теореме, то область отклонения размера - это набор, который выглядит как для некоторого .$\alpha$$R^\alpha= \{X | T(X) \ge c_\alpha \}$$c_\alpha$

Чтобы найти значение p наблюдаемого значения , то есть вы должны найти наименьшую область , то есть наибольшее значение такое что прежнему содержит , последнее (область содержит ) эквивалентно (из-за способа определения областей) тому, что , поэтому вы должны найти самый большой такой, что$x$$pv(x)$$R$$c$$\{X | T(X) \ge c \}$ $x$$x$$c \ge T(x)$$c$$\{X | T(X) \ge c \& c \ge T(x) \}$

Очевидно, что наибольшее такое, что должно быть и тогда множество supra становится$c$$c \ge T(x)$$c = T(x)$$\{ X | T(X) \ge c = T(x)\}=\{ X | T(X) \ge T(x)\}$

В определении 2 значение тестовой статистики является наибольшей нижней границей всех , так что гипотеза отклоняется для теста размера . Напомним, что чем меньше мы делаем , тем меньше допускаем ошибку I типа, поэтому область отклонения также будет уменьшаться. Так что (очень) неформально говоря, значение - это наименьшее значение мы можем выбрать, которое все еще позволяет нам отклонять для данных, которые мы наблюдали. Мы не можем произвольно выбрать меньшую потому что в какой-то момент$p$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$R_\alpha$$p$$\alpha$$H_0$$\alpha$$R_\alpha$ будет настолько малым, что исключит (т.е. не сможет содержать) событие, которое мы наблюдали.

Теперь, в свете вышесказанного, я приглашаю вас пересмотреть теорему.