Набор некоррелированных, но линейно зависимых переменных

9

Можно ли иметь набор из переменных, которые не коррелированы, но линейно зависимы?K

т.е. иK i = 1 a i x i = 0cor(xi,xj)=0i=1Kaixi=0

Если да, можете ли вы написать пример?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Из ответов следует, что это невозможно.

По крайней мере, возможно ли, что где - это оценочный коэффициент корреляции, оцененный из выборок переменных, а - переменная, которая не связана с .р п v х яP(|ρ^xi,xjρ^xi,v|<ϵ)ρ^nvxi

Я думаю что-то вродеК>>0xK=1Ki=1K1xi K>>0

Donbeo
источник

Ответы:

11

Как показывает ответ @ RUser4512, некоррелированные случайные величины не могут быть линейно зависимыми. Но почти некоррелированные случайные величины могут быть линейно зависимыми, и одним из примеров этого является то, что дорого сердцу статистика.

Предположим, что - это набор из некоррелированных случайных величин с единичной дисперсией с общим средним значением . Определите где . Тогда являются случайными переменными с нулевым средним, такими, что , то есть они линейно зависимы. Теперь так что то время как показывающий, что K μ Y i = X i - ˉ X ˉ X = 1{Xi}i=1KKμYi=XiX¯Yi K i = 1 Yi=0Yi=K-1X¯=1Ki=1KXiYii=1KYi=0var(Yi)=( K - 1

Yi=K1KXi1KjiXj
СОУ(Yя,YJ)=-2(К-1
var(Yi)=(K1K)2+K1K2=K1K
Yi-1
cov(Yi,Yj)=2(K1K)1K+K2K2=1K
Yi - почти некоррелированные случайные величины с коэффициентом корреляции .1K1

Смотрите также этот мой предыдущий ответ .

Дилип Сарватэ
источник
1
Это действительно хороший пример!
RUser4512
9

Нет.

Предположим, что один из не равен нулю. Без ограничения общности предположим, что .aia1=1

Для это означает, что и . Но это соотношение равно нулю. должен быть нулем, что противоречит существованию линейных отношений.K=2x1=a2x2cor(x1,x2)=1a1

Для любого , и . Но, по вашей гипотезе, . В «s равны нулю (при ) , и поэтому должны быть .х 1 = - Σ я > 1 я х я с о г ( х 1 , х к ) = - 1 с о г ( х 1 , х к ) = 0 я я > 1 1Kx1=i>1aixicor(x1,xk)=1cor(x1,xk)=0aii>1a1

RUser4512
источник
В случае гауссовских векторов у вас даже есть однострочное доказательство (которое я предпочитаю оставить в качестве комментария). Соотношение 0 означает независимость. подразумевает и все готово. i a 2 i = 0iaixi=0iai2=0
RUser4512
Очень хороший ответ Было бы хорошо, если бы вы могли ответить и на отредактированный вопрос.
Donbeo
Отредактированный вопрос намного сложнее;) Я предполагаю, что и относятся к одному и тому же? Я не вижу смысла в коэффициенте 1 / K, если вы ищете корреляцию, она ничего не изменит к конечному результатуX KvxK
RUser4512
1 / K требовалось , чтобы сделать . cor(xK,xi)=1/K
Donbeo
4

Это может быть немного обманом, но если мы определим «некоррелированные» как имеющие ковариацию 0, ответ - да . Пусть и оба равны нулю с вероятностью 1. ТогдаXY

Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=00=0

в то время как , поэтому и линейно зависимы (по вашему определению).X YX+Y=0XY

Хотя , если вам требуется, чтобы соотношение определено, то , что дисперсии обоих и являются строго положительными, это не возможно найти переменные выполнения ваших критериев (см другие ответы).YXY

Карл Ове Хуфтхаммер
источник