Набор некоррелированных, но линейно зависимых переменных
9
Можно ли иметь набор из переменных, которые не коррелированы, но линейно зависимы?K
т.е.
и∑ K i = 1 a i x i = 0cor(xi,xj)=0∑Ki=1aixi=0
Если да, можете ли вы написать пример?
РЕДАКТИРОВАТЬ: Из ответов следует, что это невозможно.
По крайней мере, возможно ли, что где - это оценочный коэффициент корреляции, оцененный из выборок переменных, а - переменная, которая не связана с .р п v х яP(|ρ^xi,xj−ρ^xi,v|<ϵ)ρ^nvxi
Как показывает ответ @ RUser4512, некоррелированные случайные величины не могут быть линейно зависимыми. Но почти некоррелированные случайные величины могут быть линейно зависимыми, и одним из примеров этого является то, что дорого сердцу статистика.
Предположим, что - это набор из некоррелированных случайных величин с единичной дисперсией с общим средним значением . Определите
где . Тогда являются случайными переменными с нулевым средним, такими, что
, то есть они линейно зависимы. Теперь
так что
то время как
показывающий, что K μ Y i = X i - ˉ X ˉ X = 1{Xi}Ki=1KμYi=Xi−X¯Yi∑ K i = 1 Yi=0Yi=K-1X¯=1K∑Ki=1XiYi∑Ki=1Yi=0var(Yi)=( K - 1
Yi=K−1KXi−1K∑j≠iXj
СОУ(Yя,YJ)=-2(К-1
var(Yi)=(K−1K)2+K−1K2=K−1K
Yi-1
cov(Yi,Yj)=−2(K−1K)1K+K−2K2=−1K
Yi - почти некоррелированные случайные величины с коэффициентом корреляции .−1K−1
Предположим, что один из не равен нулю. Без ограничения общности предположим, что .aia1=1
Для это означает, что и . Но это соотношение равно нулю. должен быть нулем, что противоречит существованию линейных отношений.K=2x1=−a2x2cor(x1,x2)=−1a1
Для любого , и . Но, по вашей гипотезе, . В «s равны нулю (при ) , и поэтому должны быть .х 1 = - Σ я > 1 я х я с о г ( х 1 , х к ) = - 1 с о г ( х 1 , х к ) = 0 я я > 1 1Kx1=−∑i>1aixicor(x1,xk)=−1cor(x1,xk)=0aii>1a1
В случае гауссовских векторов у вас даже есть однострочное доказательство (которое я предпочитаю оставить в качестве комментария). Соотношение 0 означает независимость. подразумевает и все готово. ∑ i a 2 i = 0∑iaixi=0∑ia2i=0
RUser4512
Очень хороший ответ Было бы хорошо, если бы вы могли ответить и на отредактированный вопрос.
Donbeo
Отредактированный вопрос намного сложнее;) Я предполагаю, что и относятся к одному и тому же? Я не вижу смысла в коэффициенте 1 / K, если вы ищете корреляцию, она ничего не изменит к конечному результатуX KvxK
RUser4512
1 / K требовалось , чтобы сделать . cor(xK,xi)=1/K
Donbeo
4
Это может быть немного обманом, но если мы определим «некоррелированные» как имеющие ковариацию 0, ответ - да . Пусть и оба равны нулю с вероятностью 1. ТогдаXY
Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0−0=0
в то время как , поэтому и линейно зависимы (по вашему определению).X YX+Y=0XY
Хотя , если вам требуется, чтобы соотношение определено, то , что дисперсии обоих и являются строго положительными, это не возможно найти переменные выполнения ваших критериев (см другие ответы).YXY
Нет.
Предположим, что один из не равен нулю. Без ограничения общности предположим, что .ai a1=1
Для это означает, что и . Но это соотношение равно нулю. должен быть нулем, что противоречит существованию линейных отношений.K=2 x1=−a2x2 cor(x1,x2)=−1 a1
Для любого , и . Но, по вашей гипотезе, . В «s равны нулю (при ) , и поэтому должны быть .х 1 = - Σ я > 1 я х я с о г ( х 1 , х к ) = - 1 с о г ( х 1 , х к ) = 0 я я > 1 1K x1=−∑i>1aixi cor(x1,xk)=−1 cor(x1,xk)=0 ai i>1 a1
источник
Это может быть немного обманом, но если мы определим «некоррелированные» как имеющие ковариацию 0, ответ - да . Пусть и оба равны нулю с вероятностью 1. ТогдаX Y
в то время как , поэтому и линейно зависимы (по вашему определению).X YX+Y=0 X Y
Хотя , если вам требуется, чтобы соотношение определено, то , что дисперсии обоих и являются строго положительными, это не возможно найти переменные выполнения ваших критериев (см другие ответы).YX Y
источник