Какой тип регрессии использовать, учитывая одну переменную с верхней границей?

Я не уверен, какой метод использовать для моделирования отношений между двумя переменными ( и y ) в эксперименте, описанном ниже:$x$$y$

• Есть 3 переменные: , x и y .$x_{aim}$$x$$y$
• Значение устанавливается при проведении эксперимента. Однако x и x a i m не всегда равны.$x_{aim}$$x$$x_{aim}$
• Коэффициент корреляции Пирсона между и x составляет около 0,9.$x_{aim}$$x$
• Коэффициент корреляции Пирсона между и y намного меньше: около 0,5.$x$$y$
• имеет максимально возможное значение ( y m a x ), которое не может быть превышено.$y$$y_{max}$
• Каждая точка данных получается после установки и считывания x и y .$x_{aim}$$x$$y$

Хотя коэффициент корреляции Пирсона между и y невелик, похоже, что y имеет тенденцию к увеличению с увеличением x .$x$$y$$y$$x$

После выполнения простых линейных регрессий и x = g ( y ) (и преобразования последнего обратно в g - 1 , чтобы отображаться на том же графике, что и f, например), оба наклона являются положительными, но наклон g - 1 больше, чем у f .$y=f(x)$$x=g(y)$$g^{-1}$$f$$g^{-1}$$f$

Имеет ли смысл говорить или x m a x = g ( y m a x ) ? ( x m a x будет достигнут раньше во втором случае.)$x_{max} = f^{-1}(y_{max})$$x_{max} = g(y_{max})$$x_{max}$

Учитывая, что связан с y m a x , что можно сказать о возможном максимальном значении x, которое может быть достигнуто?$y$$y_{max}$$x$

Насколько я понимаю, имеет смысл выполнить линейную регрессию вида когда x является независимой переменной, а y является зависимой переменной. Однако в этом контексте я не уверен, имеет ли смысл считать, что x является независимым, а y - зависимым.$y=f(x)$$x$$y$$x$$y$

Будет ли более уместной полная регрессия наименьших квадратов? Существуют ли другие способы определения того, какие значения могут быть достигнуты (и с какой вероятностью)?$x_{max}$

(Если это имеет значение, и y , кажется, не следуют нормальному распределению, так как было сделано больше попыток достичь более высоких значений x .)$x$$y$$x$

$y$$x$$x$$y$$y$$x$$r_{xy}=1.0$$y$$x$$x_{max}=f^{-1}(y_{max})$

Что касается вопроса об ограниченной переменной, то обычно можно предположить, что «реальная» сумма может пойти выше, но вы просто не можете ее измерить. Например, внешний термометр из моего окна поднимается до 120, но в некоторых местах он может быть до 140, и у вас будет только 120 в качестве измерения. Таким образом, переменная будет иметь верхнюю границу, а то, о чем вы действительно хотели подумать, - нет. Если это так, то модели тобитов существуют именно для таких ситуаций.

Другой подход - использовать что-то более крепкое, например, лесс, которое может быть вполне адекватным вашим потребностям.

$x_{max}=f^{-1}(y_{max})$$x_{max}$

$x$$y$

Если возможно, посмотрите на остатки и посмотрите, сможете ли вы выжать из него что-нибудь. Может быть другая переменная, которую вы забыли; или это может помочь преобразовать ваши переменные.