Как генерировать равномерно случайные ортогональные матрицы положительного определителя?

У меня, наверное, глупый вопрос, о котором, должен признаться, я запутался. Представьте себе повторяющуюся генерацию равномерно распределенной случайной ортогональной (ортонормированной) матрицы некоторого размера . Иногда сгенерированная матрица имеет определитель 1, а иногда - 1 . (Есть только два возможных значения. С точки зрения ортогонального вращения, det = - 1 означает, что кроме вращения есть еще одно дополнительное отражение.)$p$$1$$-1$$\det=-1$

Мы можем изменить знак ортогональной матрицы от минус до плюс путем изменения знака любого одного (или, в более общем плане , любое нечетное число) столбец этого.$\det$

Мой вопрос: учитывая, что мы генерируем такие случайные матрицы многократно, введем ли мы некоторую систематическую погрешность в их равномерную случайную природу, если каждый раз мы решаем вернуть знак только определенного столбца (скажем, всегда 1-го или всегда последнего)? Или мы должны выбрать столбец случайным образом, чтобы матрицы представляли случайную равномерно распределенную коллекцию?

Выбор столбца не имеет значения: результирующее распределение по специальным ортогональным матрицам по-прежнему равномерно.$SO(n)$

Я объясню это с помощью аргумента, который очевидным образом распространяется на многие связанные вопросы о равномерной генерации элементов групп. Каждый шаг этого аргумента является тривиальным, не требующим ничего, кроме ссылки на подходящие определения или простого вычисления (например, отметив, что матрица является ортогональной и самообратной).$\mathbb{I}_1$

Аргумент является обобщением знакомой ситуации. Рассмотрим задачу рисования положительных действительных чисел в соответствии с заданным непрерывным распределением . Это можно сделать, нарисовав любое действительное число из непрерывного распределения G и отрицая результат, если необходимо, чтобы гарантировать положительное значение (почти наверняка). Чтобы этот процесс имел распределение F , G должен обладать свойством$F$$G$$F$$G$

$$G(x) - G(-x) = F(x).$$

Самый простой способ для достижения этой цели , когда является симметричным вокруг 0 , так что G ( х ) - 1 / 2 = 1 $G$$0$ , влекущиесобой F ( х ) = 2 G ( х ) - 1 : все положительные плотности вероятностей просто удваиваются, и все отрицательные результаты устраняются. Знакомая связь между полунормальным распределением ( F ) и нормальным распределением ($G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$$F(x) = 2G(x) - 1$$F$$G$) такого рода.

В дальнейшем группа играет роль ненулевых действительных чисел (рассматриваемых как мультипликативная группа) и ее подгруппы S O ( n $O(n)$$SO(n)$ играет роль положительных действительных чисел . Мера Хаара d x / x инвариантна относительно отрицания, поэтому, когда она «свернута» из R - { 0 } в R $\mathbb{R}_{+}$$dx/x$$\mathbb{R}-\{0\}$$\mathbb{R}_{+}$распределение положительных значений не меняется. (Эту меру, к сожалению, нельзя нормировать на меру вероятности, но это единственный способ, с помощью которого можно провести аналогию).

Отрицание определенного столбца ортогональной матрицы (когда его детерминант отрицательный) является аналогом отрицания действительного отрицательного числа, чтобы сложить его в положительную подгруппу. В более общем случае вы можете заранее выбрать любую ортогональную матрицу отрицательного определителя и использовать ее вместо I 1 : результаты будут такими же.$\mathbb{J}$$\mathbb{I}_1$

---

Хотя вопрос сформулирован в терминах генерации случайных величин, он действительно задает вопрос о распределении вероятностей по группам матриц и S O ( n , R ) = S O ( n ) . Связь между этими группами описывается в терминах ортогональной матрицы$O(n, \mathbb{R}) = O(n)$$SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$

$$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$$

потому что отрицание первого столбца ортогональной матрицы означает умножение вправо X на$\mathbb X$$\mathbb{X}$ . Обратите внимание, чтоSO(n)⊂O(n)иO(n)является дизъюнктным объединением$\mathbb{I}_1$$SO(n)\subset O(n)$$O(n)$

$$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$$

Дано пространство вероятностей определенное на O ( n ) , процесс, описанный в вопросе, определяет карту$(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$$O(n)$

$$f:O(n)\to SO(n)$$

установив

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$$

когда и$\mathbb{X}\in SO(n)$

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$$

для .$\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$

Вопрос касается генерации случайных элементов в путем получения случайных элементов ω ∈ O ( n ) : то есть путем «толкания их вперед» через f, чтобы получить f ∗ ω = f ( ω ) ∈ S O ( н ) . Pushforward создает вероятностное пространство ( S $SO(n)$$\omega\in O(n)$$f$$f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$ с$(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

$$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$$

а также

$$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$$

для всех .$E \subset \mathfrak{S}^\prime$

$\mathbb{I}_1$$E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$$E\in\mathfrak{S}^\prime$

$$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$$

$\mathbb{P}$$O(n)$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{P}^\prime$