Использование фильтров Калмана для расчета недостающих значений во временных рядах

Меня интересует, как фильтры Калмана могут использоваться для расчета отсутствующих значений в данных временных рядов. Это также применимо, если отсутствуют некоторые последовательные моменты времени? Я не могу найти много по этой теме. Любые объяснения, комментарии и ссылки приветствуются и приветствуются!

Предварительные сведения: фильтрация Калмана :

Фильтры Калмана работают с моделями в пространстве состояний вида (есть несколько способов написать это; это простой способ, основанный на Durbin и Koopman (2012) ; все следующее основано на этой книге, что превосходно):

$$\begin{align} y_t & = Z \alpha_t + \varepsilon_t \qquad & \varepsilon_t \sim N(0, H) \\ \alpha_{t_1} & = T \alpha_t + \eta_t & \eta_t \sim N(0, Q) \\ \alpha_1 & \sim N(a_1, P_1) \end{align}$$

$y_t$$\alpha_t$

$\alpha_t$$\alpha_t$$\alpha_t \sim N(a_t, P_t)$$\alpha_t$$t$

$y_t$$\alpha_{t+1}$

$$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t + K_t (y_t - Z \alpha_t) \\ P_{t+1} & = T P_t (T - K_t Z)' + Q \end{align}$$

$K_t$

$a_{t+1}$$P_{t+1}$$y_t$$y_t$

$$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t \\ P_{t+1} & = T P_t T' + Q \end{align}$$

$\alpha_t$$\alpha_{t+1}$

$y_t$

---

Вменяемые данные :

$a_t, P_t$$t = 1, 2, \dots, T$

$$\hat y_t = Z a_t$$

---

Что касается справки, Дурбин и Купман (2012) отлично; В разделе 4.10 обсуждаются отсутствующие наблюдения.

• Durbin, J. & Koopman, SJ (2012). Анализ временных рядов методами пространства состояний (№ 38). Издательство Оксфордского университета.

Пример в публикации, на который javlacalle указывает в своем комментарии, показывает последовательные пропущенные моменты времени. Возможно, вас также заинтересуют интервалы вокруг вмененных (прогнозируемых в выборке) значений, расчеты которых приведены в данном документе State Space , в разделе 2.1.

Еще одна статья, которая может быть интересной - эта .