Можем ли мы сравнить корреляции между группами, сравнивая наклоны регрессии?

В этом вопросе они спрашивают, как сравнить Pearson r для двух независимых групп (таких как мужчины против женщин). Ответ и комментарии предложены двумя способами:

1. Используйте известную формулу Фишера, используя "z-transformation" of r;
2. Используйте сравнение уклонов (коэффициенты регрессии).

Последнее можно легко выполнить только с помощью насыщенной линейной модели: , где X и Y - коррелированные переменные, а G - фиктивная (0 против 1) переменная, обозначающая две группы. , Величина d (коэффициент члена взаимодействия) - это в точности разница в коэффициенте b после модели Y = a + b X, проведенной в двух группах по отдельности, и ее ( $Y = a + bX + cG + dXG$$X$$Y$$G$$d$$b$$Y = a + bX$$d$s) значимость, таким образом, является тестом различия в уклоне между группами.

Теперь наклон или регрессия. еще не корреляционный коэффициент. Но если мы стандартизируем и Y - отдельно в двух группах - тогда d будет равно разнице r в группе 1 минус r в группе 0, и поэтому его значимость будет заключаться в проверке разницы между двумя корреляциями: мы тестируем наклоны, но кажется [как будто -?] мы проверяем корреляции.$X$$Y$$d$

Это я правильно написал?

Если да, то остается вопрос, который является лучшим тестом корреляций - этот описал или Фишера? Ибо они дадут не одинаковые результаты. Что вы думаете?

Позже Edit: Поблагодарив @Wolfgang его ответа я все же чувствую , что я скучаю понять , почему тест Фишера является более правильным испытанием для г , чем сравнение, по глиссаде-под стандартизацией подход , описанный выше. Итак, больше ответов приветствуются. Спасибо.

Все, что вы написали, правильно. Вы всегда можете проверить такие вещи на игрушечном примере. Вот пример с R:

library(MASS)

rho <- .5  ### the true correlation in both groups

S1 <- matrix(c( 1,   rho,   rho, 1), nrow=2)
S2 <- matrix(c(16, 4*rho, 4*rho, 1), nrow=2)

cov2cor(S1)
cov2cor(S2)

xy1 <- mvrnorm(1000, mu=c(0,0), Sigma=S1)
xy2 <- mvrnorm(1000, mu=c(0,0), Sigma=S2)

x <- c(xy1[,1], xy2[,1])
y <- c(xy1[,2], xy2[,2])
group <- c(rep(0, 1000), rep(1, 1000))

summary(lm(y ~ x + group + x:group))

Что вы обнаружите, что взаимодействие очень важно, хотя истинная корреляция одинакова в обеих группах. Почему это происходит? Поскольку необработанные коэффициенты регрессии в двух группах отражают не только силу корреляции, но и масштабирование X (и Y) в двух группах. Поскольку эти масштабирования отличаются, взаимодействие является значительным. Это важный момент, поскольку часто считается, что для проверки различий в корреляции вам просто нужно проверить взаимодействие в приведенной выше модели. Давай продолжим:

summary(lm(xy2[,2] ~ xy2[,1]))$coef[2] - summary(lm(xy1[,2] ~ xy1[,1]))$coef[2]

Это покажет вам, что различие в коэффициентах регрессии для модели, отдельно встроенной в две группы, даст вам точно такое же значение, что и член взаимодействия.

Что нас действительно интересует, так это разница в корреляциях:

cor(xy1)[1,2]
cor(xy2)[1,2]
cor(xy2)[1,2] - cor(xy1)[1,2]

Вы обнаружите, что эта разница по существу равна нулю. Давайте стандартизируем X и Y в двух группах и перефразируем полную модель:

x <- c(scale(xy1[,1]), scale(xy2[,1]))
y <- c(scale(xy1[,2]), scale(xy2[,2]))
summary(lm(y ~ x + x:group - 1))

Обратите внимание, что я не включаю здесь перехват или главный эффект группы, потому что они равны нулю по определению. Вы обнаружите, что коэффициент для x равен корреляции для группы 1, а коэффициент для взаимодействия равен разнице в корреляциях для двух групп.

Теперь, на ваш вопрос, будет ли лучше использовать этот подход по сравнению с тестом, который использует преобразование Фишера от r к z.

РЕДАКТИРОВАТЬ

$\rho_1 = \rho_2 = 0$$\rho_1 = \rho_2 \ne 0$$\alpha$$\pm1$

Вывод: если вы хотите проверить разницу в корреляциях, используйте преобразование Фишера от r к z и проверьте разницу между этими значениями.